,不仅为了美化校园环境,也是想为其学生提供更的生活条件。公园计划有若干个入口,现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连(可以利用公园四周的边,即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路,此道路不计入道路总长),使总的道路长度和最小,前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。
1 ^) C: Y: g$ {. j 主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园,其相关数据为:长200米,宽100米,1至8各入口的坐标分别为:
% F* S& t& ~! i7 {4 F, N P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),
, d) Y! H+ Z7 U- h K) W( x ^ P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25).% I/ x0 n4 s% _1 y3 b+ P
示意图见图1,其中图2即是一种满足要求的设计,但不是最优的。# e0 A; n" B- D2 y
现完成以下问题:, L+ f$ R; Y! C4 ]8 D1 M* |- ]
问题一:假定公园内确定要使用4个道路交叉点为:A(50,75),B(40,40),C(120,40),D(115,70)。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计,计算新修路的总路程。
* c. c$ B5 E. P' R3 s问题二:现在公园内可以任意修建道路,如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标,画出道路设计,计算新修路的总路程。
" b6 Z# y( V1 ~/ @+ y9 J8 @问题三:若公园内有一条矩形的湖,新修的道路不能通过,但可以到达湖四周的边,示意图见图3。重复完成问题二 的任务。
, V% ]3 a& a. R其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。
$ B, z6 G6 @+ ~% _注:以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通,而不能连到四周的其它点。
& k. f8 ~, h: v* R4 ^
8 E" Z) S6 N5 R U' E6 ~图 1 公园及入口示意图" Z5 H+ ^, A5 f' N
! I/ t7 N& n* D( ~9 L) g 图 2 一种可能的道路设计图3 }# I M: z0 {7 p- m% Q+ ?3 m
+ A5 W( I1 D" I6 d2 O8 L E# N
. v. t: ?' y4 h4 O# E 图3 有湖的示意图 |