阿贝尔奖及首届得主塞尔

Newton1983

阿贝尔奖及首届得主塞尔   
  

胡作玄

   
      时至今日，诺贝尔奖无可争议地成为科学界的最高荣誉。尽管有这样那样的不妥之处，诺贝尔奖很少漏掉科学发展中的最重要人物。虽然爱因斯坦因光电效应而非相对论获奖，但他毕竟获奖了。十位发展量子物理的先驱人物也先后获奖。正是这些显赫人物使诺贝尔奖得到今天的崇高地位。

    一百年来，人们经常会问，为什么诺贝尔不设数学奖?对此有种种猜测，甚至涉及风流韵事，然而这都不过是无稽之谈。诺贝尔是应用化学家、实业家，他的现态度不会给他理解的数学一个同物理学、化学、生理学和医学平起平坐的地位。2003年，数学终于也有了一项与诺贝尔奖比肩的大奖——阿贝尔奖（Abel Prize）。

阿贝尔奖的设立

    20世纪数学的发展大大超越了19世纪的数学，它已走到科学的前面。但是，号称数学“诺贝尔奖”的菲尔兹奖（Fields Medal），不仅奖金少得可怜（不到诺奖的1%），而且限制获奖者在40岁以下。对它的一个补充是以色列的沃尔夫奖（Wolf Prize），它虽然没有年龄限制，但其他的非学术因素还是存在的。第三个是瑞典颁发的克拉福德奖（Crafford Prize），这是为弥补非诺贝尔奖的专业而设，包括数学、地球物理等，但每个学科六、七年才轮到一次，影响力有限。

    2001年，挪威政府宣布创设阿贝尔奖，以挪威天才数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）来命名，并纪念他诞生200周年。阿贝尔是19世纪一颗闪亮的数学之星，他不幸死于肺结核，年仅26岁。他以证明一般五次方程不能被根式解（这个工作导致现代的群论这个领域）以及椭圆函数论的工作而享有盛名。其后椭圆函数论发展成阿贝尔函数论，从19世纪起一直是一大热门。他的工作还包括：为无穷级数理论奠定严密基础。而在阿贝尔之前，对收敛及发散还没有正确的概念；他还求解第一个积分方程，而系统的积分方程理论一直到19世纪未才开始出现。以至法国数学家埃尔米特（C. Hermite, 1822-1901）在评价阿贝尔时说：“阿贝尔留下的工作够数学家忙上150年。”时至今日，许多重要的数学概念以他的名字命名：阿贝尔群、阿贝尔簇、阿贝尔积分、阿贝尔函数等。

    其实早在1902年，就有人提议设立阿贝尔奖，但由于瑞典-挪威联合王国解体，这个提议被放弃了。现在阿贝尔奖最终成为现实。这个奖今后将每年颁发，授予一位数学家，奖励他一生的成就。奖金为600万挪威克朗，现在约合80万美元。由于上述三项最主要的数学奖各有不足之处因此阿贝尔奖无可争辩地会成为最显赫的数学奖。这是因为一来奖金数额与诺贝尔奖相当，二是能选出最好的数学家获奖而使自己增光。

    2003年4月，挪威文理科学院宣告，它将把首届阿贝尔奖授予众望所归的法国大数学家塞尔（J.-P. Serrre）。颂词说：“由于他在赋予数学许多分支以现代的形式中起着关键的作用，这些学科特别包括拓扑学、代数几何学和数论。”阿贝尔奖开局不错!

    当然，一项奖的重要性不在于奖金数额多少，而在于获奖者的水平。在这方面塞尔可以说是当之无愧的。实际上，他也获得其他许多重要奖项：其中包括菲尔兹奖（1954）、法国的儒利亚（Julia）奖（1970）、意大利巴尔赞（Balzan）奖（1985）、沃尔夫奖（2000）。塞尔还获得一位科学家所能获得的最高荣誉：他被选为法国科学院院士、英国皇家学会国外会员、美国科学院国外院士等。无疑，所有的荣誉和奖励都来自他大量水平极高的工作，这些工作不仅属于颂词中提到的拓扑学、代数几何和数论，而且他在多复变、群论、抽象代数学、同调代数学、李群李代数理论等诸多领域也有重要贡献。塞尔的半个世纪的论文（1948-1998）已收入斯普林格出版社出版的四大卷《全集》（Oeuvres，vol Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,1986；vol Ⅳ,2000）之中。

塞尔的学术生涯

    塞尔于1926年9月15日生于法国南部的巴热，父母都是药剂师。他在七八岁时就喜欢数学，11岁到尼姆上中学。在寄宿学校，他经常受到高年级学生欺侮，为了安抚他们，塞尔就帮他们做数学作业。这些高年级的数学题目对他是很好的数学训练。到了十四五岁，他开始看微积分。除了数学，他也喜欢化学，这是受其父母的影响。不过，最后他放弃了化学。1944年，他参加中学优等生会考，获得第一名。1945年，他考进高等师范学校，为的是将来当一名数学教师。到了高师之后他才发现，他真正想干的不是当老师，而是当数学家。实际上，高等师范学校正是培养数学家的摇篮。布尔巴基学派的成员几乎都是从这里毕业的。1948年毕业后，塞尔在法国国家科学研究中心做研究工作，1951年获博士学位。1956年起，他任法兰西学院教授，一直到1994年退休。

    塞尔的数学研究博大精深，对于20世纪下半叶的影响巨大。他不仅开拓了许多新领域，发展新方向，而且创造新方法解决大问题。他还是写作大师，写了12本专著及教材，许多成为经典著作，并由此荣获美国数学会斯蒂尔（Steele）奖的著述奖。他的讲课富启发性，且清晰明白，显示出数学大师深入浅出的本色。

    塞尔的第一项大工作就是大大发展拓扑学。在二次大战刚结束时，结扑学还是个灰姑娘，而正是由于塞尔、托姆（R.Thom，1923-2002）、吴文俊（1919- ）等人的工作，使得拓扑学成为数学中雍容华贵的女王。尽管拓扑学已有半个世纪的历史，但每一步的发展都极为艰难。特别是同调（homology）论虽有一定发展，同伦（homotopy）论则裹足不前。头一个拦路虎就是同伦群的计算。许多大数学家，如苏联科学院院士庞特里亚金（L.S.Pontjagin，1908-1988）计算都出了错。而塞尔应用谱序列这个工具，一举解决许多原则问题，从根本上改变了同伦论乃至拓扑学的面貌。这是一位24岁的学生的博士论文。由于这个工作以及其后对拓扑学的发展，1954年还不满28周岁的塞尔荣获当时最重要的数学奖——菲尔兹奖。时至今日，这个获奖年龄仍无人打破。

    塞尔的拓扑学工作不仅改变了拓扑学的面貌，而且由于拓扑方法的应用把整个理论数学推向一个崭新的水平。代数数论、代数几何、微分几何、多复变、抽象代数、泛函分析，到处都有某种上同调，而这种工具的效用是以前的方法难以望其项背的。正是拓扑方法或同调代数方法，使20世纪下半叶的数学登上新的高峰。其中最显著的是塞尔参与的抽象代数几何学的奠基。

    塞尔进入代数几何之前，有一段多复变的插曲。19世纪数学最伟大的成就之一是单复变函数论。但是，多复变解析函数是个完全不同的对象。1906年，德国数学家哈特格斯（F.Hartogs，1874-1933）发现了单复变所没有的向内解析开拓性，这给多复变的研究带来极大的困难。单复变中的单位圆盘推广为多复变中的全纯域。20世纪上半叶多复变的主要问题变为刻画全纯域以及在特殊的全纯域上推广单复变的一些经典定理，如魏尔斯特拉斯定理、米塔格-莱夫勒（Mittag-Lef-fler）定理、庞加莱定理等。尽管有一些零散的、特殊的结果，20世纪最伟大的数学家外尔（H.Weyl，1885-1955）在他的《半个世纪的数学》中对此只讲了一句话：“多复变解析函数论，尽管有一些深刻的结果，仍然还处在它的草创阶段。”话音未落，小嘉当（H.Cartan，1904- ）和塞尔通过层的上同调为多复变建立了系统的理论，具体说，就是史坦因（Stein）空间理论，它是全纯域的推广。他们对它进行上同调刻画，给出上述一些定理成立的条件，这成为多复变进一步发展的方向。

    紧接着，塞尔又在抽象代数几何学中取得大突破，写了FAC及GAGA两篇经典论文。FAC是1955年的论文《凝聚代数层》的缩写。凝聚代数层是研究代数簇的重要工具，代数几何学中的大多数结果一下子可用凝聚代数层的上同调来表示，包括著名的黎曼-洛赫（Roch）定理、有限性定理、塞尔型定理（包括小平消失定理）、塞尔对偶定理、局部上同调理论等等，成为抽象代数几何学的出发点。 GAGA是1956年论文《代数几何与解析几何》，这里解析几何指复解析簇的几何，其中他证明代数簇与解析簇的相似性。塞尔定义的抽象代数簇，成为任意特征p的代数闭域的线性代数群理论的自然框架，但在代数几何学中被格罗登迪克（A.Grothendieck，1928- ）发展成概形（scheme）理论。在这个理论中，塞尔仍有重要贡献。

    与代数几何和代数数论密切相关的是局部环与交截理论。对于其中不变量单用抽象代数方法有局限性，甚至得不出正确公式。塞尔最先引人上同调不变量以及不变量间的关系，这对代数及其应用是巨大的推动。

    同调和上同调的进一步发展是广义同调和广义上同调，这又形成更广泛的一类不变量。典型的广义上同调是K理论。塞尔在拓扑K理论和代数K理论的建立及应用上均有贡献。特别是他与巴斯（H.Bass）及米尔诺（J.Milnor，1931- ）证明同余子群定理。

    1960年代后，塞尔的主要研究领域是数论。他在为怀尔斯（A.J.Wiles，1953- ）证明费马大定理铺平道路的工作中起着主要作用。许许多多的数学家已对这项迷人的事业的数学基础做出贡献。但是有5位数学家的作用通常认为是最主要的。按照不那么准确的时间排序，他们是弗莱（G.Frey）、塞尔、里贝（K.Ribet）、泰勒（R.Taylor）以及怀尔斯本人。费马大定理的证明是20世纪数学上最伟大的成就之一，但只涉及塞尔数论工作的一部分。

    塞尔的数论工作主要在代数数论方面。代数数论的主要研究对象是代数数及代数整数。代数数是有理数的推广，代数整数是通常整数的推广。由于代数整数的性质更为复杂，例如一般唯一因数分解定理不成立，因此研究起来十分困难。在许多大数学家的努力下，代数数论与代数相互促进，产生出理想理论及类域论等伟大成就。到1920年代，数学中最美丽的建筑——阿贝尔类域论落成，开始向纵深方向扩展。这时从域论的角度看代数数论，代数数域可扩张到更一般的域，一类是局部域，例如p进域：一类是整体域，例如通常的代数数域和有限域上单变量代数函数域，简称函数域。另外，还可以扩张到无穷扩张上。塞尔在这方面做出系统的工作，他著有《局部域》，已是经典著作。他的方法就是同调代数方法，具体讲是群的上同调或伽罗瓦上同调。这个有力工具是新结果的源泉。

    塞尔还发展了许多其他工具，其中包括解析数论的标准工具：ζ函数和L函数，l进表示，模形式理论。

    塞尔另一方面成就是发展数论与代数几何的交叉学科——算术代数几何或丢番图几何。它与当前一系列解决的猜想如费马大定理、韦伊（Weil）猜想、莫德尔（Mordell）猜想等密切相关。其中最有力的工具是椭圆曲线。椭圆曲线的推广就是阿贝尔簇。这是塞尔与阿贝尔的工作直接联系所在。塞尔后来的工作还与另一位英年早逝的天才伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）相关。伽罗瓦理论基础是给一个代数方程（为了简单和确定，假定方程系数是有理数），可以构造一个有限群与之对应，这个群就称为方程的群。反过来，任何一个有限群是否都有一个有理系数代数方程以它为方程的群?这就是所谓的伽罗瓦理论逆问题，这个问题至今尚未完全解决。塞尔后期的工作与此有关，并写了一本专著。

Newton1983

Atiyah 和 Singer 荣获 Abel 大奖

Atiyah and Singer to share the Abel Prize
The Norwegian Academy of Science and Letters has decided to award the Abel Prize for 2004, jointly to Sir Michael Francis Atiyah, University of Edinburgh and Isadore M. Singer, Massachusetts Institute of Technology。Atiyah and Singer will receive the prize “for their discovery and proof of the index theorem, bringing together topology, geometry and analysis, and their outstanding role in building new bridges between mathematics and
theoretical physics.”

     The Atiyah-Singer index theorem is one of the great landmarks of twentieth century mathematics, influencing profoundly many of the most important later developments in topology, differential geometry and quantum field theory.
     Its authors, both jointly and individually, have been instrumental in repairing a rift between the worlds of pure mathematics and theoretical particle physics, initiating a cross-fertilization which has been one of the most exciting developments of the last decades.

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   【新华网 石丁】3月25日，标志着国际数学界最高荣誉的2004年度“阿贝尔奖”在挪威首都奥斯陆揭晓。英国数学家迈克尔·阿蒂亚与美国数学家艾沙道尔·辛格由于发现了指标定理，共同荣获了这项被誉为国际数学界“诺贝尔奖”的奖项，两人将分享总额高达87.5万美元（约合726万人民币）的巨额奖金。挪威科学院高度评价了这两位科学家的研究成果，称“他们的杰出贡献在于发现并证明了指标定理，该定理将过去曾被认为毫不相关的拓扑学、几何学和分析学完美地结合在一起，因而是现代核心数学中最引人注目的一个领域”。

1963年，阿蒂亚与辛格共同发现并证明了指标定理。自20世纪80年代以后，物理学家大量引用阿蒂亚与辛格的研究成果，在超弦和量子场论研究领域获得了大量成果，并对拓扑学、微分几何学的研究有极其深远的影响。鉴于指标理论对基础数学与基础物理研究的巨大贡献，国际数学界将指标定理的证明与著名的费马大定理的证明相提并论，将它们并称为数学在20世纪取得的最伟大的两项成就。

英美数学家分享荣誉

现年75岁的阿蒂亚出生于英国，目前任教于英国爱丁堡大学。作为英国最著名的数学家，阿蒂亚在其研究生涯当中获得了不计其数的荣誉。1962年，年仅32岁的阿蒂亚就成为英国皇家学会会员。阿蒂亚曾荣获“菲尔兹奖”。阿蒂亚不仅曾在英国担任皇家学会会长、剑桥牛顿数学科学研究所所长、著名的剑桥大学圣三一学院院长等职务，还是美国、法国、中国和俄罗斯等数个国家科学院的外籍院士。

来自美国麻省理工学院数学系的辛格教授出生于1924年，是美国国家科学院院士。辛格教授曾是白宫科学委员会的成员。在其半个多世纪的数学研究生涯中，辛格曾先后获得过美国数学学会颁发的“斯蒂尔奖”和美国政府颁发的“国家科学奖”，在美国数学界享有极高的声誉。

数学界的“诺贝尔奖”

以挪威数学家阿贝尔命名的“阿贝尔奖”设立于2002年。今年是该奖项第二次颁发。该奖仿效“诺贝尔奖”，每年颁发一次，奖金额为87.5万美元，是目前国际数学奖中奖金额最大的奖项，与诺贝尔奖100万美元左右的奖金差不多。挪威政府创立该奖的目的是为了鼓励人类在数学领域的探索与研究，同时也是为了弥补科学领域最高荣誉———诺贝尔奖中没有数学奖的遗憾。

在“阿贝尔奖”创立之前，国际数学界最著名的奖项当属以已故加拿大数学家菲尔兹命名的“菲尔兹奖”，但该奖不仅奖金少得可怜(不到诺贝尔奖的1％)，而且限制获奖者在40岁以下。对它的一个补充是以色列的“沃尔夫奖”，它虽然没有年龄限制，但其他的非学术因素还是存在的。第三个是瑞典颁发的“克拉福德奖”，这是为弥补非诺贝尔奖的专业而设，包括数学、地球物理等，但每个学科六七年才轮到一次，影响力有限。与以上奖项相比，“阿贝尔奖”尽管历史较短，但由于奖金额巨大，很快在世界范围内获得了承认，目前已被公认成为数学界的诺贝尔奖。

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作者：John Rognes
注释：This year's Abel Prize was awarded jointly to Michael Francis Atiyah and Isadore M. Singer for their discovery and proof of the index theorem. After the announcement professor John Rognes gave a lecture explaining the index theorem.

摘要：

1. On the Atiyah—Singer index theorem
2. Introduction
3. Table of contents
4. Applications of mathematics
5. A picture of the mathematical world
6. Analysis
7. Topology
8. Mathematical models
9. Systems of differential equations
10. Analytical index
11. The Atiyah—Singer index theorem, revisited
12. A non-elementary example
13. Historical remarks
14. Conclusion

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