北京大学第十届“江泽涵杯”数学建模与计算机应用竞赛试题

时间:2013年04月29日作者:Admin查看次数:2,604 次评论次数:0


消息来源:http://www.math.pku.edu.cn:8000/news/read.php?newsid=8014

A题:投篮问题

投篮是篮球运动中一项关键性技术,是一项重要的得分手段。在篮球赛中有三种特殊的投篮方式,“三分球”、“两分球”和“一分球(罚篮)”。其中,“三分球”是指在三分线以外投篮且命中的进球。由于距离远,受到空气阻力影响,通常采用跳投技术,要求起跳时脚要在三分线以外,不可踩三分线,落地时可以在三分线以内,也可在三分线以外。 “两分球”是在三分线以内投篮且命中的进球。罚篮是在篮球比赛中对犯规球员的处罚。罚篮是在罚球圈进行投篮,距离较近,一般为了保证命中率会采用原地定点投篮,不采用跳投技术。

一、 请通过数学建模分析这三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素,为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。

特别注意到,2012年中国篮球协会修订的篮球规则的新改变:

1、限制区(3秒区)改成4.9米乘以5.8米的矩形,并在限制区内以篮圈在地面的投影点为圆心以1.25米为半径画一个半圆(见附图),设为进攻合理冲撞区,进入该区域内(冲撞区的线属于该区域)发生的身体接触如果造成犯规,则判为防守的犯规。

2、三分线区域扩大,由原来的6.25米半径扩大为6.75米。

二、 试运用你们所建立的模型分析这项新的规定能否增加篮球竞赛的观赏程度以及体现球员的个人表现力。

附录1、名词解释

限制区(三秒区):限制区是一个为了限制进攻方球员在有利进攻位置滞留时间过长而从球场地面划出的区域。在这个区域内,当进攻方开始控球时刻计算,任何一名进攻方球员滞留的时间不应该超过3秒,否则将会被认定对于防守方不公正的进攻行为而吹罚,具体的罚则为攻防转换,滞留3秒区内超过时间的进攻方球员计失误,不计犯规。

合理冲撞区:篮下以篮筐的中心为圆心,以4英尺(1.2米)为半径的半圆,此区域被称作合理冲撞区。站在圆弧线以内,只要防守队员与进攻队员有身体接触,都可能会判防守犯规。而在线外,防守队员则可以提前站好位,如果进攻队员用身体接触了防守队员,会判进攻队员撞人。在合理冲撞区内,在对方进攻时,防守球员如果跳起来才不会被吹罚犯规。

附录2、篮球场地示意图
规则改变前的篮球场地示意图
2013pku1

规则改变后的篮球场地示意图
2013pku2

现行的实际篮球场地示意图
2013pku3

B题:卵巢癌早期诊断模型建模和分析方法研究

卵巢癌(Ovarian cancer) 在我国女性生殖系统恶性肿瘤中发病率居于第二位,但死亡率居于首位。这主要是由于超过70%的卵巢癌患者,其确诊时肿瘤往往处于晚期,从而导致患者的5年存活率就有20%,而早期卵巢癌的治愈率却可以达到90%。因而对于卵巢癌的早期筛查以及诊断是十分必要的,这是降低致死率的有效手段。

然而,卵巢癌在人群中的患病率很低(3–5/10000)且其在早期阶段通常不具有明显的临床症状表现,故而一个有效的早期筛查策略,不仅需要依赖于疾病的临床症状表现,同时也需要借助于生物学标记,来在保证一定特异度的前提下达到更高的敏感度。

CA125是临床应用最为广泛的一种肿瘤标记物,对于晚期卵巢癌的诊断具有重要的辅助作用,近来也被用于早期患者的诊断;但是直接利用其进行早期卵巢癌筛查的敏感度及特异度均不佳。1990年Jacobs等首先提出用恶性风险指数(RMI)预测卵巢癌。这种基于病例对照研究数据及Logistic回归构建的简单评分系统,能够在一定程度上提高CA125的敏感度。2001年Skates等提出了一种基于CA125的纵向检测数据的筛查策略。即建立了一个带有变点的贝叶斯分层混合效应模型,并给出了基于癌症风险计算的早期筛查策略。这类纵向筛查策略较之于最简单的基于肿瘤标记物阳性阈值的筛查方法、以及基于RMI的筛查方法,在敏感度方面有了较大的提高。

HE4是近来提出的一种新的肿瘤标记物。有研究表明,大约20%以上的未出现CA125升高的卵巢癌患者,会出现HE4表达。故有必要考虑HE4、CA125以及其他肿瘤标记物的不同组合对于卵巢癌早期筛查及诊断的作用。2008年Moore等的研究认为HE4和CA125的联合检测其敏感度与特异度最高,并在之后2009年的研究中利用病例对照数据建立了用HE4和CA125联合检测预测盆腔包块患者卵巢癌风险的模型(ROMA),获得了相对理想的效果。

北京大学人民医院将开始卵巢癌早期筛查研究。依照研究流程,待研究结束后,将获得16000例筛查对象的血清CA125及HE4的纵向检测数据。该研究的目标,则为依据这16000例样本,建立一个基于血清CA125及HE4两个指标的可供今后使用的卵巢癌早期筛查数学模型,并基于该数学模型给出一个合理的卵巢癌早期筛查策略。韩宵等(2012),邹晨晨等(2012)利用Skates(2001)中提出的建立带有变点的贝叶斯分层混合效应模型的思想,将之应用于血清CA125及HE4双指标的联合检测。

注1:病例对照研究。以现在确诊的患有某特定疾病的病人作为病例,以不患有该病但具有可比性的个体作为对照,通过询问、实验室检查或复查病史,搜集既往各种可能的危险因素的暴露史,测量并比较病例组与对照组中各因素。通过建立模型和统计分析建立诊断模型和分析危险因素。

注2:纵向检测数据。针对某个特定群体,持续筛查一段时间,每隔一段时间,比如6个月,测量一次危险因素值,比如CA125及HE4,到筛查结束后,会发现一些患病者,另外被观察者都不会患病。假定总共有$$m$$名受试者,对于受试者$$i=1,2,\ldots,m$$,从进入观测开始到退出观测结束共进行了$$n_i$$次检测,检测时间点分别为$$t_{i1},t_{i2},\ldots,t_{in}$$(此时间为绝对时间,即对所有受试者有统一的起点和尺度),每次检测的CA125和HE4值记为行向量$$y_i(t_{ij})=(c_i(t_{ij}),h_i(t_{ij}))$$。该受试者卵巢肿瘤的产生时刻记为$$s_i$$,一般情况下这个时刻是不知道的。如果在测试结束前产生肿瘤,则$$s_i\leq t_{in_i}$$,如果在测试结束时仍未产生肿瘤,则$$s_i>t_{in_i}$$,如果受试者终生未患肿瘤,则$$s_i=\infty$$.

问题:病例对照研究中病人数可以比较多,纵向检测数据中病人一般较少。以往的文献都是单独通过病例对照研究数据或纵向检测数据分别建立模型并分析问题。本问题需要参加竞赛者给出卵巢癌早期诊断方法,要求同时利用病例对照研究数据和纵向检测数据,以克服纵向检测数据中病人数较少,病例对照研究中没有历史信息的不足,使得诊断更加准确。对于所给出诊断方法,要求模拟给出敏感度和特异度。

参考文献

  1. I JACOBS AND D ORAM AND J FAIRBANKS. (1990). A risk of malignancy index incorporating CA125, ultrasound and menopausal status for the accurate preoperative diagnosis of ovarian cancer Journal of Obstetrics and Gynaecology 97 922–929.
  2. SJ SKATES AND DK PAULER AND J JACOBS. (2001). Screening based on the risk of cancer calculation from bayesian hierarchical changepoint and mixture models of longitudinal markers. Journal of the American Statistical Association 96(454) , 429–439.
  3. RG MOORE AND AK BROWN AND CM MILLER AND S SKATES AND JW ALLARD AND T VERCH AND M STEINHOFF AND G MESSERLIAN AND P DISILVESTRO AND CO GRANAI AND RC BAST JR. (2008). The use of multiple novel tumor biomarkers for the detection of ovarian carcinoma in patients with a pelvic mass. Gynecologic Oncology 108, 402–408.
  4. RG MOORE AND SD MCMEEKIN AND AK BROWN AND P DISILVESTRO AND CM MILLER AND JW ALLARD AND W GAJEWSKI AND R KURMAN AND RC BAST JR AND SJ SKATES.(2009). A novel multiple marker bioassay utilizing HE4 and CA125 for the prediction of ovarian cancer in patients with a pelvic mass. Gynecologic Oncology 112, 40–46.
  5. 韩霄,邹晨晨,房祥忠(2012), 卵巢癌早期筛查方案研究, 科技论文在线,2012.10.4.
  6. 邹晨晨,房祥忠,翟广贺(2012),基于混合变点模型的卵巢癌诊断筛查,科技论文在线,2012.10.4.

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