转载:[译]数模之路:我与MCM/ICM的不解之缘

时间:2018年08月07日作者:amao查看次数:14,377 次评论次数:0

本文转自“数模Club”,经原作者授权转载。
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英文原文“On the Road of Mathematical and Interdisciplinary Modeling: A Decade-Long Association with the ICM”刊登于2014年COMAP为纪念ICM竞赛成功举办16周年编撰的文集“The Interdisciplinary Contest in Modeling: Culturing Interdisciplinary Problem”。

作者:毛紫阳,国防科学技术大学数学与系统科学系

从队员到评委

从2005年开始指导学生参加ICM(The Interdisciplinary Contest in Modeling)竞赛,到2008年指导学生获得ICM竞赛特等奖,再到2014年作为评委参加ICM竞赛初评和终评,我参与ICM竞赛已有10年。但是由于ICM竞赛与MCM(Mathematical Contest in Modeling)竞赛牢不可分,以及CUMCM(全国大学生数学建模竞赛)与MCM的渊源,我与数学建模竞赛的故事要从大四那一年参加CUMCM竞赛开始讲起。

2000年,我和同学张增辉、陈颖文组队,通过学校的培训和选拔,参加9月份的CUMCM。我们学校有参加数学建模活动的传统。1985年开始开设数学建模选修课,1993年在CUMCM创立的时候就开始参赛,1994年起参加MCM。而在2000年年初,我们学校刚刚获得MCM的特等奖,是当年获得特等奖的唯一的中国高校,也是我们学校第一次获此奖项。全校师生倍受鼓舞,参加数学建模活动的同学比往年更多一些,但是参赛名额有限,所以校内竞争激烈。

相信对于每一位参加过数学建模竞赛的同学来说,培训和参赛的经历都让人印象深刻,难以忘记,整个过程充满困难和挑战,收获也很多。

在参加竞赛和培训的过程中,接触到很多有趣的问题。这些问题来自现实生活,之前在其他课程中很少见到,也没有想到使用自己已经掌握的知识尝试解决。比如电影院地板曲线的设计问题,锁具装箱问题,蜂窝通信的信道分配问题等等。要解决这些具体问题,困难一个接一个。

参赛队员面临的困难

最根本的困难是对建模过程缺乏了解。之前没有接受过如何从事科学研究的系统训练,不知道面对一个全新的问题,从何处入手,如何展开研究。除了这个最主要的问题,还有很多具体的困难。

  • 文献检索。当时国内的互联网尚未普及,速度很慢,缺乏资源,不可能成为主要的信息来源。查阅科技文献主要依赖学校图书馆的资源。获取、检索、分类整理信息不及时,效率不高。而现在的情况可能是另外一个极端,资料太多,良莠不齐,筛选出真正有价值的资料需要花费大量时间和精力。
  • 数学知识。在上数模选修课和参加培训时,学习了很多新的知识。但是很多优秀论文中使用的方法,还是没有听说过,更谈不上灵活运用。不够用只能补。对于常用的方法,可以多花点时间认真学习,但要在短时间内系统学习多个数学分支是不可能的,多数知识只能在需要用到的时候临时学。
  • 编程能力。我们三个人,两个数学专业,一个系统工程专业,编程能力不能和计算机专业的同学比。而且那时候互联网上还没有现在这么多开源的代码库,可以参考的书籍很少。很多题目,即使有算法,但真正要自己实现出来,仍然有难度。印象深刻的一道题是锁具装箱问题,需要求一个5880个节点的二分图的完美匹配,当时几乎写了一个通宵才调试通过。
  • 科技论文写作。中国高校很少在大学低年级的课程中讲授与科技论文写作相关的内容。我们和很多同学一样,第一堂科技论文写作课是在数学建模竞赛培训中学到的。刚开始的时候,困难其实不是怎么写,而是写什么。写作是为了展示成果,交流信息,在对如何解决问题没有太多概念的情况下,没有办法进行写作。
  • 团队合作。我们三人的合作比较顺畅。张是头儿,主要负责把握整体的方向,建立模型,控制进度。陈主要负责写作。我主要负责编程。开始的时候,大家先一起查资料,三个人提出各自的想法,充分讨论和交流,确定主要的模型和算法。之后,我开始编程计算出一些结果,再交流。同时,他们两人继续完善模型的细节。后期,陈开始写论文。最后一起修改论文和摘要。由于题目不同,每个人的角色和工作量不完全一致,大体如此。虽然也有分歧大的现象,但是多数情况下,三个人容易达成一致的意见。
  • 英语水平。可能有些同学会认为只参加CUMCM对英语水平的要求不那么高。确实比参加MCM/ICM低,但是英文资料比中文的多很多。对于中国学生来说,英语好的参赛队绝对会比其他队伍更有优势。如果是参加MCM/ICM竞赛,这一优势就会更加明显。不仅文献要查英文的,还要用英文写作。最近这些年,与中国中小学的英语教学整体水平有关,中国学生的英语阅读和写作水平都有很大的提高。虽然与美国学生还是有差距,但是已经不是最大的障碍。
  • 时间。很多次,我们遇到的最大问题其实是时间不够用。可以说,时间才是决定性的因素。无论CUMCM的三天,还是MCM/ICM的四天,三个人要在这样短的时间内,完成对问题的分析、建模、求解、检验,最终写出完整的论文,时间都非常紧张。必须合理分工,合理安排时间,控制进度,三个人尽量并行工作。要保证工作效率,注意休息。在极度疲劳的状态下连续工作4个小时的效果,可能不如先休息2小时再工作2小时。前期选题、查文献的时间不要太长,尽快进入工作状态,把时间留给最后修改完善论文会更好。不要低估写作所需要的时间,特别是写摘要所需的时间。写作的过程也是完善解答的过程,有些问题可能在写论文时才会暴露出来,要修改也需要时间。时间紧张除了表面上的工作时间短之外,还会引起一系列的副作用。身体疲惫,效率降低,容易焦虑,进而心情沮丧,还有可能导致队员间的冲突。很多有实力的参赛队,在平时的培训中有出色表现,但在正式竞赛中,不能发挥正常水平,很有可能是对时间的把握不够好。因此在参加比赛之前,应该至少进行一次严格控制时间的模拟,最好与竞赛的时间完全一致。这样才能体会如何把握时间,控制解题的节奏,才能检验能不能克服压力,正常发挥。

通过培训和参加竞赛,我们解决问题的能力得到了锻炼,编程能力得到加强,写作水平从无到有,有很大的提高。最后我们获得全国二等奖,还算不错。但是由于各种原因,我没有参加第二年的MCM/ICM(张和陈参加了,并获一等奖),非常遗憾。

毕业之后

2001年下半年我毕业留校工作后不久,就在吴孟达教授的带领下,开始参加学校数学建模相关活动的组织和竞赛指导工作,一直到今天。自己会做一件事情,与教会别人做好这件事情,是完全不同的。同学们思维活跃,特点各异,我在与同学们的交流中学到很多东西。同学们的很多疑问,在自己参赛的时候并没有遇到过,没有考虑过,迫使我重新思考。我发现之前对数学建模的理解并不全面。准备参加,或者刚参加数学建模活动的同学,充满期待,满怀热情,但是可能很难抓住重点,进展缓慢。最常见的疑惑是:

  • 数学建模是什么?
  • 与其他数学分支、其他学科的关系又是什么?
  • 为什么要参加数学建模竞赛?
  • 现在参加是不是早了,什么年级参加最好?
  • 老师讲的很多内容以前都没听说过,参加数模竞赛是不是要学很多内容,到底要学多少才够用?

这里分享一下自己对这些问题的体会。

类比

打一个不完全恰当的比方来说明。比如要做一件家俱,有没有图纸的区别,大致相当于解决具体数学问题与数学建模的区别。

  • 如果已经有详细的图纸,只是做出来,那么考察的主要是木匠的基本功,这相当于解决具体的数学问题(或者其他学科的具体问题)。
  • 如果没有图纸,那问题就会复杂很多,只有基本功是不够的,还需要根据用户的需求先设计再制作,这就相当于数学建模。

要设计一件家俱,比如说一把椅子,先要了解用户的需求(了解问题背景),是放在餐厅,还是放在沙滩,是给成年人用,还是给儿童用,等等。然后要查一查市场上是否已经有合适的产品,现有产品的缺点在哪里,是通过改进就可以达到要求,还是需要完全重新设计(调查研究现状,文献综述)。进入设计阶段之后,用户由于缺乏经验,往往很难对椅子的参数和性能提出更具体的要求,但是设计师要完成设计,必须帮助用户考虑周到。

从这里开始,设计师的经验、水平、创造力逐渐显示出来。比如,如果用户需要的是一把在沙滩上使用的椅子,那么无论用户是否明确要求,都要考虑防水、便携的问题(提出合理假设)。这时,可以将设计目标限定为一把轻质防水的沙滩折叠椅。

下面可以开始设计这把椅子了(建立模型)。设计的过程是最主要的环节,基本功是基础,经验很重要,也可以从已有产品上寻找灵感。

最终目标是设计出符合用户要求的新颖实用的产品。如果真的是设计一把椅子,或许还有固定的步骤可以遵循,但是就数学建模而言,没有固定的模式和方法可以套用,与问题的类型和特点有关,与建模者有关。而且,我个人一直认为创造力是教不会的,只能启发和引导,完全依靠个人的力量,要“悟”。

要设计出新颖的椅子,并不需要椅子浑身上下全是崭新的设计,可以只集中体现在某一方面,比如使用了新型的复合材料,减轻重量提高了强度,比如折叠后体积更小,便于携带,比如为遮阳伞预留了固定位置,或者是集成了现有多个产品的优点等等。

数学建模的创新

数学建模也是一样,创新可以只集中在对象、工具和素材中的某一点或某几点。

  • 可以提出新的问题(新的研究对象),比如各种已经解决和没有解决的著名猜想。
  • 可以是针对问题提出全新的方法,建立新的理论或研究工具(建立新工具)。这当然非常困难(比如微积分、图论等)。发明新的仪器设备也可以归为此类。
  • 也可以是方法和问题都是老的,但是之前没有用这一类方法解决过这类问题(拓展老工具的应用范围),比如浦丰投针实验,开创了使用随机方法解决确定性问题的先河。
  • 还可以从数据的来源入手(新的素材)。比如确定交通流量是处理一大类问题的前提条件,第一个想到使用手机基站数据估算交通流量也是一种创新。

一般来说,新的研究对象和发明新工具(新理论或新仪器)紧密联系在一起的。这类创新往往是突破性的重大进步。对于大学生而言,不要刻意追求这一类创新。但是无论如何,你的设计总是要有某一点是新的,否则无法体现你的工作的价值。也就是说,产品要有卖点。

这里所说的设计,只画出图纸是不够的,至少要制作出原型产品(求解)。因为只有做出产品的原型,才能考察设计是否满足要求,才能进行相关的测试(检验),才能与其他产品进行比较(对比分析),而且在测试和比较之后,很有可能需要对原设计进行改进(迭代改进模型)。

工具和建模意识

制作原型的时候,要用到一些工具。如果一件工具都不会用,那肯定做不出来。而你的工具箱中的工具越多,使用越熟练,效率会越高。但是不一定要把工具箱都装满,都学会,才开始干活。有了一些必备的知识和技能之后,就可以开始从简单的做起。遇到具体任务需要用到新工具,可以临时学习,效果虽然会打折扣,质量不高,但是或许可以勉强完成任务。

学习具体的数学知识或其他知识和解决实际问题的关系大致也是这样。要有一定的基础,而且知识越多,能解决的问题也越多,并且应该解决的更好。数学建模不是独立的一门学科,更多的是一种意识,一种综合运用自己已经掌握的知识求解实际问题的意识。而培养这种意识,与知识的积累没有必然联系,也不存在最低的知识水平的要求。

越早建立这种意识越好。要知道,人类的创新从未停止。同学们在大一学习的微积分知识,在17世纪之前是不存在的,那时的人们依然需要解决很多现实问题。所以学习数学建模,不存在大一早不早的问题。问题在于选择合适的切入点和入门材料。

ICM作为教学平台

数学建模这么有用,还需要一个平台来推动和发展相关的教学、应用活动。数学建模竞赛就是在这样的背景下产生的。无论MCM/ICM还是CUMCM,都为各专业的大学生提供了一个展示创造力的平台。以此为契机,各高校特别是中国高校的相关教学活动有了很大的发展。通过参加竞赛和培训,学生的综合素质得到了提高。

没有获奖就没有收获?(No Win, No Gain??)

但是初学者往往看不到这些实质的发展和收获。看重奖项是人之常情,但不能认为获奖是唯一重要的事情。只要是竞赛,就有偶然性。题目类型是否熟悉,临场的发挥,队员间的配合,评委的口味等等,都有可能影响最后的结果。一次竞赛的结果也不能说明参赛队的所有建模技巧。

参加竞赛能获奖当然很开心,但是获奖既不是参加竞赛的目的,也不是结果,更不是竞赛发起者和组织者的初衷。最重要的是在这个过程中奖项之外的收获。

  • 是否强化了数学建模的技巧?
  • 是否了解科研活动的一般方法和步骤?
  • 是否熟练掌握科技论文的撰写?
  • 运用已学过的知识解决实际问题能力是否有所提高?

为什么数学建模竞赛能够做到这些?因为除了选题之外它浓缩了科学研究的全过程。真正的科研活动也大体遵循这样的步骤:

  • 了解问题
  • 检索研究现状
  • 提出假设
  • 建立模型
  • 编程求解
  • 分析结果
  • 撰写论文

区别只是题目更难,周期更长,工作量更大。通过参加竞赛,特别是竞赛之前参加系统的培训,就能够对科学研究的步骤有深入的理解,各方面能力得到提升,为进一步从事科研活动打下良好的基础。

如何面对挫折

正确理解数学建模活动,正确看待竞赛和竞赛成绩,对于面对挫折,克服日后可能出现的困难,都非常重要。从2002年开始参加学校数学建模活动的培训和指导工作以来,每年我都要向学生们说明这一点。这也是我从参赛队员变为指导教师之后,对数学建模活动新的理解,也是最重要的体会。

实际上,当抱着正确的目的,向着正确的方向一步步前进时,同学们的努力和进步,在竞赛成绩上也会有所体现。2007、2008年我们学校连续两年获得MCM/ICM的特等奖。使我们学校成为当时第一个获得三个特等奖的中国高校。之后,2012年获得Finalist,2014年第四次获得特等奖,也是第二次获得ICM的特等奖。

2008年获奖的参赛队是我指导的。三名队员之前已经参加过两次CUMCM和前一年的ICM,并获得二等奖。他们的基础都很好,是各自专业的第1、2名。2007年参加ICM时,做的是肾移植交换网络的问题(Organ Transplant: The Kidney Exchange Problem)。他们有很好的想法,但是由于缺乏经验,编程能力有限,写作不够流畅等原因,论文最后完成的不够好,成绩不理想。

但是他们心态很好,赛前对成绩的期望不高,抱着学习的态度参赛。能够得到二等奖,对他们也是一个激励。之后的一年,他们进行了认真、细致而有针对性的准备。在2008年的ICM竞赛中,做的是医保系统的评价问题(Finding the Good in Health Care Systems),他们论文的题目是”The Most Expensive is Not the Best”,各方面都比前一年有了明显的提高,论文得到了评委的高度评价。以下摘录自当年竞赛的评委评论。

The paper from the National University of Defense Technology includes perhaps the most comprehensive review of healthcare systems, metrics, and issues among all submissions. The paper is also notable for the sensitivity analysis of its models. Further, this team continues to tie their scientific knowledge throughout the paper, resulting in exceptional comparisons and evaluation of healthcare systems based on their models. They recommend a “medical insurance voucher” to “increase the insurance coverage and reduce the unfairness” in the U.S. healthcare system.

最后,他们获得特等奖和INFORMS特别奖,这也是我们学校第一次获得ICM的特等奖,第一次获得INFORMS奖。

ICM有何不同?

ICM与MCM的区别主要体现在三个方面:

  • ICM题目综合性更强。只要看一看历年竞赛题目的标题,很容易看到这一点。环境、能源、生态、社会、网络科学是ICM涉及最多的几类问题。个个都是大问题。每一个问题都很难将其归入某一具体学科,都涉及到很多学科的知识。对参赛者的知识水平和综合运用多学科知识的能力提出了要求。
  • ICM题目更开放。与多数MCM题目的简洁、明确不同,ICM题目往往提供丰富的背景知识和参考资料,但是一般只指明大体的研究方向,需要参赛者自行决定具体的研究内容和研究角度。可能有人认为这样的题目很难把握,很难做好。更多的人认为这样可以给参赛者留下充分的发挥空间,参赛者可以尽情展示其创造力。而且,这与真实的科研活动更接近。真正的科研工作者总是需要自己寻找研究方向和研究内容。
  • ICM题目通常不依赖特定的文化背景。这一点对中国学生尤其有利。正像上面提到的,因为ICM的题目几乎都是大问题,往往是全球范围内共同关心的问题,所以无论哪个国家的学生,都多少了解一些问题的背景。而MCM的题目更具体,经常涉及到具体的文化背景和传统习惯。典型的例子有这么几个。
    • 2006年MCM的B题,要解决机场轮椅的安排问题(Wheel Chair Access at Airports)。在中国的机场,很少有航空公司会为乘客准备轮椅,因此这个问题在中国几乎是不存在的。学生看到题目,第一个问题是,为什么机场会有轮椅?
    • 2009年MCM的A题要求设计交通环岛的信号灯(Designing a Traffic Circle)。题目中提到stop sign和yield sign。中国的交通法规里面没有这两个标志,绝大多数中国学生不知道这两个标志的含义。但是对美国学生来说,这应该是常识。
    • 2013年MCM的A题要求设计更好的烤盘。烤箱在美国是最常见的厨房电器。但是在中国,直到最近几年,才有部分大中城市的个别家庭购置了烤箱。中国学生对烤箱、烤盘、烘烤过程完全没有概念。
    • 类似的情况还有,2004年MCM的B题快速通道系统(A Faster QuickPass System),2005年MCM的B题收费站设计问题(Tollbooths),2007年MCM的A题选区划分问题(Gerrymandering),等等。虽然这些知识都不是秘密,可以查到相关的资料,但是中国学生需要花费很多时间去了解题目涉及到的背景知识,如果理解不准确,会影响最终方案。

    这些差异的确存在,不能说MCM或者ICM谁更好,只能说是适合不同的人。

尾声

而在为此工作了十多年之后,我终于有机会访问COMAP,一窥竞赛的核心。2014年3月,受CUMCM组委会秘书长谢金星教授的委托和ICM竞赛主席Chris Arney教授的邀请,我参加了2014年ICM的终评。这是一次短暂而令人激动的旅行,收获颇丰。

10多年来,几乎每年竞赛结束后都是我亲手将全校的论文通过DHL寄往COMAP公司,这次到了现场。每年的收件人都是”MCM/ICM Coordinator”,这次见到John Tomicek先生本人。2008年我们ICM特等奖证书上有主席Chris Arney教授和当年的首席评委Joseph Myers教授的签名,这次一起参加终评。再次见到COMAP总裁、竞赛的发起人Sol Garfunkel先生(Garfunkel曾于2010年访问我们学校)。

这次访问,使我有机会从一个全新的视角观察这项赛事,从而有更全面的了解。最主要的原因在于有机会阅读更多的参赛论文,了解参赛选手的实力和竞赛的整体水平。在此之前,我所能接触到竞赛论文,只有我们学校同学们的作品以及赛后发表的优秀论文。优秀论文虽然很好,但是毕竟数量有限。

而这次参加初评和终评,前后共评阅了近200篇论文,大概占总数的五分之一,这些论文中不乏精品。来自全球各地的参赛者展示了良好的数学功底和写作技巧,不少论文的思路和方案与众不同,经常让评委们难以取舍。特别是最后一轮评阅,从Finalist中选出Outstanding论文时,评委们关注的焦点不是谁好谁不好,而是谁更好。

评委们来自数学、计算机科学、行为科学(Behavioral Sciences),地理学(Geography)等多个学科,同样体现了交叉学科的特点。他们的专注,工作热情,敬业精神和专业水平令人敬佩。还有更多参加初评的评委,以及广大的竞赛指导教师,为这项赛事默默奉献。他们中的很多人已经为此奋斗了20多年。对于他们,和Sol一样,数学建模已经成为他们的事业。他们曾经的学生,像我这样,也陆续加入到他们的行列。

虽然MCM/ICM竞赛在社会大众中的知名度和影响力还不能和International Mathematical Olympiad等竞赛相比,但是很多人和我一样,对这项活动越了解,就越喜欢它,就会希望介绍给更多的人。ICM竞赛已经走过了16年的历程,使上万学生从中获得了宝贵的科学研究经历,衷心希望这项活动一直举办下去,有更多的有追求的学生能够参加,并从中受益。

所有的故事源自15年前春光明媚的一天在02-101教室的那堂数学建模课。特别感谢吴孟达教授最初引导我踏上数模之路,以及10多年来无私的指点和关怀。最后,借用他的一句话,与所有参赛同学共勉。

追求卓越,成功会不期而至

享受过程,结果将水到渠成

作者简介:

毛紫阳,国防科学技术大学数学与系统科学系副教授。2002年起参加数学建模竞赛的指导工作。2008年指导学生获MCM/ICM特等奖及INFORMS特别奖。2011年被评为全国大学生数学建模竞赛优秀指导教师。全国赛2009年B题,2013年B题,2016年B题命题人(与吴孟达教授、王丹副教授合作)。

Ziyang Mao

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