英明决策，抢渡长江
英明决策，抢渡长江摘要：
从长江的情况来看，水流速度比较大，如果运动员的速度太小或是没有选取合适的路线，就可能导致运动员不能到达终点。为此我们根据运动员不同的情况和不同的水流速度选择适合的路线，从而可以确定前进的方向。我们通过对问题的分析找到一个达到终点的最小的T。由此我们通过变量间的转化在一定的条件下问题就转化为了一个条件极值问题。具体的模型如下：
minT
s.t
对模型的逐步简化我们可以得到问题的解。在问题一中我们可以得到一个较简易的模型，更有利于我们求解。模型为：
min T
s.t
我们解得问题一中的 u=1.54155m/s =27.4558度
对于速度为1.5m/s的运动员得到=31.9112度t=911.498s
在问题二中，我们把需要的速度与世界纪录比较得知是不可能到达的。我们也通过求T存在的条件求得 u 1.234m/s.
综合模型一，模型二我们可以通过计算机搜索和求条件极值两种方法都可以得到问题的结果。在问题三中得到=35.9872度 =29.13056度 T=904.025s
问题四的结果为 =37.3065度 =24.6954度 T=892.485s
我们也设想 是t的一个函数，发现问题的解答相当困难。因此我们假设在固定的区域 不变是合理的。在连续分布的情况下我们也进行了讨论，但没有做深入的研究。
最后我们对模型进行了进一步的推广，也证明了模型的最优性，说明它有很强的实用性。
英明决策，抢渡长江
一、 问题重述
此问题是一个来自具体实际的例子，文章通过给出一些实际数据，以及渡江比赛结果，要求我们设计一个好的竞赛方案，以使运动员能够在比赛中得出最优的成绩。
首先，给出的水速是一个固定的，要求我们来设计一个方案。然后逐步深入，由固定的到分阶段的，每个小段是一个固定的值，此后又进一步深入，对不同的水的速度是变化的要我们得到最优的方案。
二、 问题假设
1、 水流速度与处在上游下游无关，即相同宽度各处水流速度相同；
2、 竞渡区域两岸为平行线；
3、 1934年路线全程5000米视为比赛的起点到终点的距离；
4、 运动员只比速度，不限定具体的姿势，每个运动员有足够的体能到达终点；
5、 运动员在某一固定区间段方向不变；
6、 天气对运动员的影响不考虑。
7、 2002年的第一名是沿最佳路线前进的。
8、 问题二中对运动员的要求理解为速度上的要求，即都沿最佳路线前进的。
三、 符号说明
T: 渡江所花的总时间
X(t): 在X轴上的分速度
Y(t): 在Y轴上的分速度
U: 运动员的速度
V(y): 水流的速度
: OA与X轴正方向所成的角
: 运动员速度方向与Y轴正方向所成的角
: 在第一个区间运动员速度方向与Y轴正方向所成的角
: 在第一个区间运动员速度方向与Y轴正方向所成的角
: 总的平均速度
: 在区间一的时间
: 在区间二的时间
: 在区间一中沿X轴正向运动的距离
: 在区间二中沿X轴正向运动的距离
: 运动员速度方向与X轴负方向所成的角
四、问题分析
通过对问题的分析知道，当日的平均水温为16.8摄氏度，江水的平均流速为1.89m/s，通过查阅资料可知，江水的温度比往年低，流速比往年的快。这时运动员的影响比较大。
第一、 水温太低运动员在体力上的损耗比较大，影响成绩的发挥。
第二、 流速太大，对于凭经验来选择渡江路线的运动员来说会导致路线选择错误而不能到达终点目标。对于一般情况而言，选手的速度和方向都是时刻变化的，对于某一时刻的速度v(t)=dy/dt，我们以武昌汉阳门为坐标系原点沿河岸下游方向为X轴正方向垂直河岸的方向为y轴正方向建立直角坐标系，我们可以发现方向的选取对运动员来说有重大的意义。我们认为最优路线就是水的速度与运动员的速度的合成就是沿OA方向（在模型检验中得到了证明）。在后面的解题中我们对方向的选取和成绩的估计都是指最优的路线和成绩。因此这个问题就是一个有条件的极值问题。
第三、 在速度、体力、耐力一定的前提下方向的选取对成绩的影响教大。
第四、 在实际过程中，参赛者的速度是变化的，但在模型的假设条件下，我们可以认为参赛者总是以其最大速度游向终点。
五、模型的建立与求解
运动位置是运动员的速度与时间的一个函数，我们以一个时间的函数把速度分解为x(t)沿岸的速度，y(t)垂直于岸边的速度。
我们可以得到一般模型为：
模型一：minT
s.t
对于问题①→④的求解就是在指定的条件下对模型进行合理的简化，从而求得所要求的结果。
问题一的解答：
在某一固定水域内，运动员速度的大小方向不变，水的速度不变的情况下，沿直线到达终点的路径是时间最短的方案。我们可以得到：
模型二：min T
s.t
问题一中给出的条件为水的速度为1.89m/s,对速度的说明也是一个固定了速度大小和方向的速度，为此我们的模型可以简化为：
我们通过Mathematica求解得到：(程序见附录一)
v=1.54155m/s, =27.4558度（ 为Y轴正方向向左偏的角度）。
运动员前进的路线则是从起点到终点的连线所成的线段。
对于一个速度为1.5m/s的运动员来说，我们得到到达终点的最优路线方程组：
（ 为运动员速度与X负方向所成的角）
通过求解我们可以得到： =58.088度,t=911.498s
从而可以得到
为此我们就为速度为1.5m/s的运动员选取了有效的路径。（程序见附录二）
问题二的解答：
问题二是在①假定成立的条件下进行的分析。在竞渡过程中运动员的速度大小和方向都不变，在整个过程水的速度也不变，运动员垂直的方向游，对于能否达到，我们可以做如下的验证：
即有：
表示当v=2.1924（m/s）且沿正对岸游时，刚好能到达终点目标，则我们当v 2.1924(m/s)是，垂直沿对岸游可以到达终点目标。从理论上讲这是一个十分合理的解集，但实际情况下，人的速度不可能绝对的大。因此，我们就取上限为世界游泳冠军记录。从而得到一个比较合理的解集。我们可查到400米自由泳世界纪录约为1.794（m/s）。所以一般的情况下，是不能到达终点目标的。
对于1934年与2002年比赛结果出现的特大差异，我们可以从以下方面分析。
1、水温、水流速度的差异影响运动员的发挥及路径的选择。
2、 1934年的全程有5000米，而2002年全程不过有1532米，相对的说来距离越短而对选手的要求也就越高。
3、 1934年在9月举行而2002年在5月举行，考虑到风速的因素，对游泳者的影响也是存在的。
现在，我们要讨论能够成功的到达终点目标的条件：
1、 v与 合成后速度的方向为 方向
2、 由模型可得
化简得：
则要使得t存在的条件：
可解得
从模型上看我们就很容易得出1934年与2002年运动员能成功到达终点目标相差很大的缘故了。当路线全程增大时我们对选手的要求相对就低得多。我们依据模型已经解得了2002年的情况下，水手选择最优的路线，能够到达终点目标的最小速度v=1.234(m/s)。这时对选手提出的要求是比较高的，所以成功到达的选手相对来说就很少了。
问题三的解答：
对于问题三的求解，我们首先需要对模型的进一步分析。我们可以由模型计算出在中间段游泳者至少需要往下移动的距离为
即： y A
代入 0 x
运动的在致路线
整理得：
由t存在的条件可得：
由Mathematic可以解出
则我们可以得到 的取值范围于控制在之间。
由总模型我们可得到以下的关系：
整理可得：
④
对d1在间取不同的值得到对应的T=2t1+t2的表格（取d1为整数时）为：
d1 0 50 80 90 93 95 96 97 98 99
T(s) 1849 1025 918.5 906.4 904.4 904.18 904.05 904.025 904.037 904.187
d1 100 110 120 124
T(s) 904.681 915 950 1004
我们通过分析表格和搜索得到一个比较准确的结果，对d1取不同间距的数值对T进行比较。可以发现当d1=97时T的值接近minT，我们也可以知道T是d的一个函数，随着d1的增长为先增而后减再增的。为此，我们可以取得一个较小的值，时间值约为：
T=904.025s
返回代入解得 度 度
受到计算机搜索的启发，T是关于d的一个函数，大致可以用抛物线来拟合 ，则对T求偏导 ,理论证明当d=97时是时间最小的取值。
由第4式可得：
用求极值方法可得：
由导数为0可得极值点:=0
由Mathematic解得 （程序见附录三）
可以说明 =97时间已经很精确。
同时我们由关系函数可以做出图形，通过对区间的小化来求得解的情况。
（图一）程序见附录四
图二
我们从图形上可以看到，在图上取得的最小值的 值与97相当接近，由于精度的不同，在这个条件下我们认为我们的结果是比较准确的。
问题四的解答：
对于问题四，我们首先想到的是游泳者能否始终以和岸边垂直的方向游，因为这样的时间T是最小的，而我们的目标是T 最小，但是在速度V大小不变的假设下，通过计算得：V必须大于2.188m/s故否定。那么能否在不同水流速度区间保持不变呢？尽管这样简单，但我们不必去计算，因为我们的目标是T 最小，而不是能否到达终点。在下面的模型求解中我们将认为是变化的， 那样 不变的情况也包含在里面！
下面我们来检验题设的速度分布函数参数2.28是否合理。检验如下：
将长江的横截面理想化为一个矩形，其横截面积为S，即在该区间河水深度都相同，故河水平均速度 =1.886m/s与题目中的平均速度1.89m/s 吻合很好。
所以我们认为速度分布函数较合理，
但是是否符合实际还有待验证。 V
S
水的速度是y的函数，在200 960间水速恒定为2.28m/s.我们可以由模型得到 y
通过整理可以得到：
x
由t存在的条件可得： 0
(运动的大致图形)
我们可以解得：
对于问题（四）的求解我们可以由问题（三）的方法得到类似的方法。假在区间（一）与区间（三）我们看成是对称的，则运动员在这两个区间偏角度是相同的。也可以得到 我们根据模型可以得到：
=
另外还有 我们通过化简可以得到如下方程组。
①
我们同样也可以得到：
②
化简后得到：
前面我们得到了 我们就可以得到 的取值范围为 。通过对 取不同的值我们可以得到：
0 10 20 30 35 36 37 38 39 40
T（s） 933.821 915.850 903.047 894.930 892.921 892.708 892.564 892.489 892.485 892.561
41 45 50 60 65
T(s) 892.710 894.021 898.391 921.156 973.75
我们可以得到一个比较接近的值，当 时得到最小值约为:
T=892.485
通过代入求值我们可以得到在三个区域中的偏角为：
由问题（三）的启发，我们可以通过求导数得来， T= +
由 =0
我们可以解得=38.5379m
代入可以解得： T=892.477s =37.3619 =24.5384（程序见附录五）
同样我们也可以通过图形来求解，我们由T和 的函数可得：
图四（程序见附录六）
通过对图形的比较我们可以发现几种方法求出的解有一定的误差但相当的小，我们认为它得到的是一个比较精确的值。
对于v(y)是一个连续函数的情况而言，我们不妨设:
v(y)=f(t)
我们知道当速度不停变化时计算相当复杂，我们假设运动员速度的大小和方向不变，由模型一我们可以得到：
在这里我们f(t)为连续函数，则要使运动员能到达终点则可以知道H=1160m， =1000m，u=1.5m/s代入我们可以得到一个 与t的函数关系.在这种情况下比较复杂不再作进一步讨论.
问题（五）的解答：
作为一个有意参加竞渡的选手，你是否会考虑自己采用怎样的方式才能安全的到达对岸，并且能够以最快的速度到达对岸。在这里我们必须去做一下事前的准备工作。最关键的是我们必须估计出竞渡时的水流速度。因为它与我们每位选手的成绩关系最密切。
作为竞渡运动员会从这两方面考虑：1、能否到达所指定的终点目标。2、到达指定终点目标的方法是否能使得时间最小。每位运动员应该在比赛前都有训练，所以对运动员来说也只能凭经验来选择游泳的路线。前面我们已经通过了足够的理论计算与说明，得到了一个很好的模型来帮助选手进行决策。对于不同的情况下，选手要选择不同的游泳方向。这样才能使得运动员以最快的速度在最短的时间到达终点目标。
每位选手对自己的实力也应当是比较了解的，如果说河水的速度比你以前能够到达终点时的时速度要快，那么为了以最快的速度到达终点，你就得把原来的游泳方向往向上游方向偏。反之，则应往下游方向偏，当然，这只是一个大概的情况，如果你想知道具体的决策方案，请告诉我们你的速度、与水流速度，我们来帮你选择一个最佳的方案。
六、模型运用方案
在21世纪已到来之时，也伴随着社会的不断进步，科技发展则是越来越重要了，科技的发展可以衡量一个国家的先进水平。然而，潜水艇作为海里最常用的海上交通工具，现在我们来讨论如何用现代的科技研发新一代理想的潜水艇。
潜水艇在海底工作时，总是有目的而行的。因此，也是有起点与终点目标的。而在水里影响其工作最主要的便是水的流速，此外还有外界的温度、压强、气象等情况。现在我们只讨论取某一距离就能到达目标，此条件下如果能够在最短的时间内完成任务，那就是我们所策略之中。然而要到达目标，应有一个最佳的选择速度，考虑了速度的大小外，还必须做出一个合理的方向。当我们假设潜水艇在行走时速度的大小和方向都不会改变，视为匀速运动，然而现在就得选择最佳的速度应在某一数值和某一方向。如果我们能够在潜水艇的设备中安装一个系统，使之在水里行走操作时能够自控、随机应变，使得潜水艇在某一方向和保持某一速度能在最短的时间内到达目标。然而我们可以采用上面“抢渡长江”这一模型的分析加以考虑，研制出该系统设备，那我们的理想达到了最终目的，何乐不为呢！
流体包括了气体与液体，然而该模型还可适用于空中飞机、发射导弹、空投等，在空中飞行影响速度还是气流（气体的流速），当我们把气流视为水的流速，用同样的方法也可以做出最优的策略。
模型的检验：
我们的目标是过河的时间T最小（拿冠军）。而能到达终点的条件是 ,其中 为沿河岸下流1000米的时间， 为到达对岸的时间。显然当 = 时，游泳者到达对岸的地点恰为终点；当时，游泳者到达对岸的地点为终点的上游，再以自己的速度与水流速度的合速度游到终点而这时的速度是最大的；当t1>t2时，游泳者被冲到终点的下游。
对问题一我们用的是t1=t2时的情况，而t1〈 t2时使T最小也有可能。
现在我们来讨论这种情况：
在这里，我们仍然假设到达对岸前的方向角不变，
游泳者的速度v1用问题一的结果1.54155m/s,水流速 d 1000-d
度v2为1.89m/s .到达对岸时花了时间t1秒，这时往
下游走了d米(0<d<1000)，再到终点时花费t2秒.
那么 ，
1000(m)
t2=(1000-s1)/(v1+v2)
通过求解并代入数值得：
T=同样的我们对T求导数，令其等于零，求d 值，但我们没有得到d的结果。（解题过程见附录七）
这说明在0<d<1000中，其没有极值 。也就是T的导数不等于零，所以其极值在函数的端点，这从我们作的T的图形看出。所以我们得出t1=t2时的情况为最优路线。对于问题（三）与问题（四）我们用同样的方法可以证明。
T-d图形
七、模型的评价
我们通过对问题的分析建立了一个合理模型.我们的模型具有很大的实用性，它适合于许多的高科技产业的实际情况,因为此模型就是一个条件极值的问题,模型求解的方法可以利用条件极值,也可以利用计算机搜索,也可以利用图形方法来求解.可以根据实际的要求来选取不同的方法.由于模型的普通化决定了它具有很强的亲合力,可以得到有效的推广和应用.
由于实际情况的限制,在一般化模型下求解比较困难，问题（四）中我们认为区间0到200与960~1160的方向角相同，但两者的条件有不同之处：速度变化正好相反，其是否相同还有待证明。
八、参考文献
赵近芳著，大学物理学， 北京邮电大学出版社
清华大学工程力学系著， 机械工业出版社
D.J.华尔德,C.S.皮特勒 科学出版社
http://sports.sina.com.cn/o/2001-07-18/18162773
http://sports.sina.com.cn/star/thorpe_ian/
http://www.cnhubei.com/aa/ca68620.htm
附录一：
附录二
附录三：
其中d= (m)
附录四：
附录五：
其中d= (m)
附录六：
附录七：
本文系我校 左勇尤荣强 黄躲兵 在2003年全国数模竞赛中的论文，欢迎大家提意见。
他们的QQ是：124732379 171057999 47151394
[此贴子已经被HUASHI3483于2004-3-20 16:52:06编辑过]
为奖励论坛上传,特奖励数模币10000以资鼓励 想要具体论文,和他们联系吧. 看到这个问题又让我想起了2004年1月1日我横渡长江的情景.当时我就是没有到达指定地点并被水直接冲向下游.最后——我被汽艇给拉上来了！现在看来我当时的路线也有问题的，或许应该先建立一个模型预测一下，对吗？
另外，我当时是和别人共同推着一个牌子的。用两个汽车轮胎在下面，上面绑了个铝合金框的牌子，重量可以忽略不计，其单边长度可以让三个人抓住它后能发挥作用。谁能结合流体力学在计算一下用什么策略好。（轮胎的大小，间距都是很重要的，直径不能太小。） hgygyu 可惜看不到具体的模型式子
我晕倒！！
把我的名字都写错了
还发啊？？？
有没有搞错啊
我是尤荣强啊！！！！
改了啊？？？？？？？？ 想不到，我们城院的几个数学建模的同学都来了啊
英明决策，抢渡长江
大家好!很高兴与大家分享,
不过把我的资料搞错了啊
我的Q是47******对调
__呵呵!!!!~~~~~~~~~~~~~
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