数学模型网络课程的设计与实现
数学模型网络课程的设计与实现陶志穗 洪毅 林健良
华南理工大学应用数学系 2003-7-20
1．研制《数学模型》网络课程的意义
《数学模型》课程是一门既古老又年轻的课程。
现代的《数学模型》课程形式上和古代的数学课程类似，都采取案例教学的形式，但是实质完全不同。古代数学没有严密的数学概念和语言，常常混淆数学概念与具体事物，因而产生不少错误。现代的《数学模型》课程其重点是：⑴如何从具体事物抽象出数学概念，了解这种抽象只是一种近似，只反映具体事物的某些特性；⑵如何从复杂的实际问题中寻找最重要的因素；⑶如何既注意思考的逻辑性、严密性，又紧密结合实际情况；⑷如何将所得结果应用与实践、通过实践进一步改进模型。
2．《数学模型》网络课程的设计
2．1课程的设计原则和目标
从略。
2．2《数学模型》网络课程功能设计
从略。
2．3页面设计和导航设计
利用网页进行教学，时间资源与空间资源都非常宝贵，我们觉得应当在有限的空间中提供尽可能多的信息供学习者选用，网页应当有课堂的气氛、应当有统一的风格，应当使学习者愿意去学、喜欢学。
因此在整个课件中，我们设计了三种页面：课程首页、章节教学页、辅助教学页，并采用模板统一页面风格。
首页模板的页面结构分为上下两部分，上端部分是标题和主要教学功能菜单，下端部分是展示区，显示教学内容。首页摸板供首页及与首页直接连接的各页使用。
课程的首页内容包含课程介绍、教学内容分类查询、教学参考书、课程目录、课程安排、各章导航、与本课程有关的网站连接、最新数模竞赛题、数学软件、教学互动、视频导学、有关制作信息。学习者可以点击热字，连接到相关的页面作进一步的了解。首页界面如图1所示。
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图1 数学模型网络课程首页
章节模板的页面结构分为三部分，上端部分与首页模板相同，左下端是节导航部分，右下端是教学区。章节模板为每章一个模板，供同章各小节使用。
章首页内容包含有本章目录、学习指导、所用数学知识、思考题、探索题、数模演示、数模实验。章首页的画面如图2所示。
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图2数学模型网络课程章首页
本课程每一小节的内容对应一个数学模型，围绕着用数学知识解决实际问题的解题步骤来展开学习。每一步骤也就是一个知识点，对应一个网页。
辅助教学页模板的页面结构为两部分，题目与展示区，每个功能用一个模板，如动画演示、数模实验等都各有自己的模板。
设置明确的学习航向是网络课程研制需要认真考虑的一件事情。数学模型网络课程采用多级导航系统。
省略。
利用数学方法解决实际问题时，首先要把实际事物之间的联系抽象为数学形式，这就是所谓建立数学模型（Mathematical Modeling）。建模的一般步骤如图3所示。
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3．数学模型动画设计
数学是抽象的东西，人们普遍觉得数学难学，就是因为它太抽象，看不见，摸不着。事实上，数学模型是实际问题的一个抽象，设计数学模型的"动画演示"就是要把抽象的数学模型形象化、具体化，使模型变成与实际相关的东西，使传递的信息更丰富更形象，使学习者获得多重刺激，激发学习兴趣，集中注意力，从而加深对模型与相关知识理解和记忆，提高学习效率。
"动画演示"把模型具体化，能模拟现实世界中不容易观察到的现象或事物，有利于学生理解和掌握抽象的数学知识。例如在"蜂房结构"动画演示中，学习者看得见"一个正六棱柱切割组合为一个尖顶六棱柱"的过程，帮助学生较容易地理解题目。
"动画演示"把模型形象化，把抽象的概念可视化，大大了激发学生的学习兴趣。例如在"商人过河"动画演示中，听得见河水哗哗流，看得见商人和仆人划船穿梭两岸，一个"安全过河"策略形象地被演绎。如图4所示。
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图4商人过诃动画演示
"动画演示"创立了真实教学情景，有利于解决数模问题中的难点。
把数学模型抽象的概念形象化，把数学原理可视化，需要结合模型的特点和应用背景来进行，还需要发挥想象力与创新思维。具体实现可按下列步骤进行。
首先，把数学模型与实际生活的事物或活动联系并结合起来。每一个从客观世界中抽象出来的数学概念、数学分支都是客观世界中某种具体事物的数学模型。例如：自然数1就是具体的一只羊、一头牛等的数学模型；而直线就是光线、木棍等的数学模型。每个数学模型都是生活的某一方面的反映和抽象，在对"数学模型网络课程"的可视化开发中，是实现这个过程的相逆过程，把抽象的数学模型与客观世界相联系起来，返回到形象的现实世界的具体事物、事例或活动，就形成生动易懂的知识。如田忌赛马这个数学模型（矩阵），虽然是从数学角度来建立模型和求解模型，但在现实生活中，确实存在古代的一个君王与大将赛马的广为流传的典故。
其次，对模型进行形象化构思。数学模型是对现实世界的某一特定对象、为了某个特定目的、作出一些必要的简化和假设并运用适当的数学工具而得到的一个数学结构，它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。对模型进行形象化构思，就是把数学模型所反映的现实形象化、具体化，最后得到与原来模型有相同目的、功能和应用的可演示的具体过程。
再次，对模型进行有效的算法设计。算法是一个模型在计算机上实现可视化、动态化的关键一步，好的算法对模型的求解起着举足轻重的作用。
最后，结合形象的动画构思设计。把模型按照设计的要求进行开发，完成模型的可视化，使模型从抽象的东西变成形象的动画。
4．数学模型探索性互动学习
从略。
下面是"田忌赛马"模型实验的设计。
模型描述战国时期,齐国的国王与国内一个名叫田忌的大将军进行赛马，双方约定各自出三匹马，分别为三个等级，即一等马(好的)、二等马（中等的）、三等马（差的），比赛时，每次双方各从自己的三匹马中任选一匹来比赛，输者要付给胜者一千两黄金，一轮赛三次，每匹马都参加。这里，局中人自然是齐王和田忌，两局中人的策略集合则为各自三个等级的马的全排列，结局是某一局中人赢得黄金一千两或三千两。当时，三种不同等级的马相差非常悬殊，高等级的马肯定能赢低等级的马，而同等级的马中，齐王的马比田忌的马要强。如果齐王和田忌都是一、二、三等马依次参赛的话（即策略同为：一等马先参赛，其次是二等马参赛，最后是三等马参赛），那么田忌就可能输三千两黄金。这时，田忌的谋士孙膑给他出了个注意，让田忌用三等马去与齐王的一等马比赛，用一等马对齐王的二等马，用二等马对齐王的三等马。即田忌的策略是三等马先参赛，一等马次之，二等马最后，用以对付齐王的一、二、三等马的次序参赛。这样，结局是齐王非但没有赢，反而输掉一千两黄金。
模型实验画面描述
整个演示画面分为上、中、下三个部分。上面部分是齐王和田忌的画像，以及他们各自的马，从左到右分别为一、二、三等马；中间部分是赛马场，分别显示齐王马匹的跑道和田忌马匹的跑道，跑道上的标志显示该场比赛是第几回合；下面部分是双方已参赛的马匹和成绩。
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图5田忌赛马实验
算法设计（1）分别以数字6、4、2代表齐王的一、二、三等马，5、3、1代表田忌的一、二、三等马。
（2）根据数字大小，决定比赛结果和过程。数字大者，在比赛过程中马的移动越快，数字越大者，比赛结果为赢者。
以下从略。
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