[转帖]美国数学奥林匹克2004
<P><b>美国数学奥林匹克2004(第33届)</b>比赛时间:2004年4月27,28日中午12:30~17:00.</P>
<P>第一天做问题1~3:</P>
<P>第二天做问题4~6:</P>
<P>1. 四边形ABCD有内切圆，它的每一个内角及外角都至少有60度。证明：
|AB3 - AD3|/3 ≤ |BC3 - CD3| ≤ 3|AB3 - AD3|
等号在什幺情况下成立？
2. 整数a1,…, an的最大公因子是1。S是一个整数集合且有以下性质：
(a) i=1,…,n，ai ∈ S
(b) i,j=1,…,n，(i,j容许相同)，ai - aj ∈ S
(c) 对于任何整数x,y，如果 x+y ∈ S，那幺 x-y ∈ S
证明S包含所有整数。
3. 实数k取何值时，一个1×k的长方形可被分割成两个相似但非全等的多边形？
4. A和B用一个6乘6的格阵玩游戏。他们轮流选一个空格子，在其中填上一个有理数，新填的数字要跟所有已填的不同。A先填。当所有的格子都填上数字后，把每一行的最大数字所在的格子涂黑。如果从顶行到底行的所有黑格子是连接在一起的话(两个黑格子有公共边或公共顶点都视为连接在一起)，A胜；否则B胜。
找出A或B的必胜策略并加以证明。
5. a,b,c是正实数。证明
(a5 + a2 + 3)(b5 + b2 + 3)(c5 + c2 + 3) >= (a + b + c) 3
6. 四边形ABCD有内切圆，其圆心是I。如果
(AI + DI) 2 + (BI + CI) 3 = (AB + CD) 3
证明ABCD是等腰梯形。
</P>
<P>其中AB3 表示AB的3次方;</P>
<P>a1表示a的下标是1;以次类推;</P>
<P>希望广大网友积极思考,踊跃回答.</P>
<P>(PS:我也没有正确答案,大家一起努力)</P>
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