wcwcscw 发表于 2004-7-17 05:12:50

再次探讨“一道小学题把我难住了！帮帮忙”中的数学题

<P>      这道题看似简单（针对具体的这道题，也的确简单），实际上蕴涵着很深的数学理论！这里面蕴含着一个关于计数制的问题。我们对于二进制、十进制很熟悉，而这道题却是关于三进制的。如果采用三进制，任何数都可用0、1、2这三个数来表示。至于此题与三进制的具体明确关系，我也还没想清楚，有待大家进一步探讨。
       下面是本题的通俗解法。用一架没有砝码的天平一次最多可以分辨出三个外观相同而有一个质量不同的球；两次最多可以从(3^2)9个这样的球中分辨出一个不同的球；……N次最多可以从（3^N)个球中分辨出一个不同的球。只要总球数M&lt;=(3^N)，那么称N次一定可以分辨出来。具体称法如下：把总数M分成三份，即M=N(1)+N(1)+N(2)=2N(1)+N(2),N(i)满足的条件是：N(1)&lt;=,假设与众不同的球在N(i)中，则继续把N(i)按照上面的条件分了称，最终一定可以分辨出来。此题中M=12（大于（3^2)而小于(3^3)),则很容易分，三次一定可以称出来。例如:M=6+6=5+5+2=4+4+4=3+3+6=2+2+8,故按第一步来分可以有五种称法，不信可以试试看看。
       提供一类似题目供大家检验我的解法，也欢迎大家提出新的解法。
       题目：有一堆金币里包含有一枚银币，总共有80，给你一把没有砝码不能读数的天平，如何才能最多称三次就能找出那枚银币？（找出来就奖给你这堆金币，努力啊！^_^）
      以上乃在下愚见，幸勿见笑！
</P>

luozhuliang 发表于 2004-7-19 18:13:54

这个问题如果采用数学回归法将会大为简单．

xbj9803 发表于 2004-7-20 04:55:32

<P>哈哈 `简单之极 ，楼上的 学过信息论不，你说的问题就是假币（即你留的哪个题目）的变种啊，这个问题用信息论的东西其实很简单的，我先说信息的概念啊：信息，即不确定性，在信息论里是用log（1/p）来衡量的，其中p是指这个时间出现的概率，我们记A：一次称量，出现某种结果（左边下降，或右边下降，或平衡中的一种）这个事件，则p(A)=1/3,则k次称量得到的信息量为klog(1/3)=log(1/3^k)，而从一堆硬币（设总数为N）里找出那枚假币来所需的信息量为log(1/N)，则应有log(1/3^k)&gt;=log(1/N),即3^k&gt;=N,求出满足条件的最小的k即为最少的称量次数，如N=12，k取3小就可以了，至于分法，每次分三堆是显然的，具体数目，可以取一种简单的，尽量使每堆的个数一样，就可以了。具体操作可以用三叉树图表示。</P><P>如果有80枚硬币，只要称4次就可以分出来，我想是不是还有一个条件，就是假硬币比真硬币是轻还是重，我假设假硬币是轻的，</P><P>第一次可以分成27，27，26。称27，27的</P><P>第二次，1，如果平衡，则一定在26这一堆了，把26的分成9，9，8</P><P>            2，如果左边下降（和右边下降相同），把27的分成9，9，9</P><P>第三次 ，若第二次称量 是第一种情况，称量9，9，8结果同第二次；若是第2种情况，也是一样的。只需要4次就可以分出来了。</P><P>其实就算不知道假硬币比真硬币是轻还是重也可以做出来的，哈哈自己想想吧```</P><P>楼主还满意吧</P>

xbj9803 发表于 2004-7-20 04:56:48

我忘了   我是来要钱的，快给， 不给M4a1伺候你嘿嘿

xbj9803 发表于 2004-7-20 19:21:46

<P>偶订正一个地方 ，上面的哪个不等式打错了</P><P>log(1/3^k)&gt;=log(1/N),应该改成log(3^k)&gt;=log(N)所以才能的出3^k&gt;=N的条件</P><P>我在补充一点关于分组的方法</P><P>   设第i次称量时，把M个分成三组，每组个数设为M（1），M（1），M（2）一个最明显的条件就是每组个数都应该小于等于3的（k-i）次方 也就是你说的那个要求条件。</P><P>具体做法可以先均分（并不是真正的均分），然后根据条件调整就可以了，只要注意每次分的时候保证有两组的个数相等和那个条件就可以了。</P><P>我想这个问题应该得到解决了吧~~</P><P>至于二楼朋友说的用数学归纳法偶不知道怎么会变简单了</P><P>还望写出具体证法来 </P>

沧海一月 发表于 2004-8-5 21:19:00

<P>不知道楼上的说些什么</P><P>尤其是楼猪</P><P>十二个球是不知道不同的球是重还是轻的</P><P>我想了一个小时才想出来</P><P>如果知道重还是轻的谁都会了</P><P>小学生也会</P><P>就不需要楼猪在这里教了</P>

wcwtqtvb 发表于 2004-8-5 21:32:07

<P>晕</P><P>金币与银币一看就看得出来。不称干吗啊</P>

alixender 发表于 2005-9-20 04:02:12

<P>3楼的，人家要的可是3次！</P>
<P>7楼的发散思维真强！</P>

sym911 发表于 2005-12-12 19:38:48

<P>一楼的人好象有点自相矛盾,先说了N次最多可以从（3^N)个球中分辨出一个不同的球,题目中80个球是3的4次方减1,3次又怎么分出来,应该是4次吧?</P>

lqanlf 发表于 2006-1-1 06:42:48

金币与银币一看就看得出来

<DIV class=quote><B>以下是引用<I>wcwtqtvb</I>在2004-8-5 13:32:07的发言：</B><BR>
<P>晕</P>
<P>金币与银币一看就看得出来。不称干吗啊</P></DIV>
<br>我同意呀！！！呵呵。这还有什么好想的呢？
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