从表达的角度看数学建模
<P >推荐新书：《表达的探究》与数学建模<p></p></P>
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<P >《表达的探究》一书从数学、语言和信息三个角度，对表达的一般原理和技术做了全面的探讨。这里就此书在数学建模的独特意义做一点介绍：</P>
<P >首先《表达的探究》对数学方法做了语言分析。“乘”是我们最熟悉的算术谓词，所谓语言分析，就是不再把“乘”简单地看成是一种运算，而是强调它的描述和显示功能，它不仅可以表达“倍数”，还可以表达“相遇”、“相碰”、“组配”“相交”“推导”等复杂的语义，通过这个最简单的案例，揭示出数学语言的表达特点。从“计算”和“恒等变换”这两个数学语言最常用的词汇，讨论了它们之间的互相可表达性，特别是如何把日常的词汇设法转换成以上的数学词汇，什么是日常语言不能胜任的表达，却可以用数学语言来进行表达。总之，突出数学的描述和显示功能，就是把数学作为语言来使用，而不是将其仅仅作为计算方法来使用。这是数学建模区别于一般数学教学的根本之处。</P>
<P >其二，定性与定量表达。只有研究透彻此关系，才能理解数学为何能从“定量”的计算技术转换为一种“定性”的语言工具。而只有懂得了定性表达的妙处，才能真正懂得数学的妙处。数学中的几个典型结构：度量空间和拓扑空间，这两者有定量与定性之间的差别，而序结构则是在定性与定量之间。拓扑方法是定性研究的典型方法，它的种种技巧就是要超越定量。所谓“橡皮上的几何学”，就是说和“数量长度”无关。再如，微分方程定性解的理论中，采用微分几何的描述方法，关注的是所谓定性态势，而不是具体的数值，这些都是典型的拓扑方法。此书特别揭示了定性与定量表达之间的重要关系。</P>
<P >其三，《表达的探究》具体演示了数学语言是如何刻画非对称性的。因为既然语言的功能就是给出信息，从数学上可以把它抽象为一种非对称性显示和描述。数学语言也能刻画组织结构性，因为所谓的组织结构就是一种非对称性。《表达的探究》揭示了对应、构造、闭环和相关这四个典型方法是如何刻画非对称性的。在对应中探讨了原形与影像之间的变形问题，通过变形大小，揭示了对应表达的柔性技巧。</P>
<P >其四，以数学为工具，为表达理论建立了数学模型。表达理论的根本是意义分析，而意义的形式化抽象可以视为一种排序。《表达的探究》第一部分就是表达的数学分析，就是为表达建立数学模型。它从不同平面的排序观点出发，提出了四个排序模型：对应是在两个平面上排序，构造是在三个平面（多个平面）上排序，而闭环是在一个平面上从整体到个体的分解排序。相关则是最一般刻画非对称的模型。比如哪些日常词汇可以用“乘”这个算术谓词来表达呢，那么这种转换在表达上究竟是什么意思？这些就涉及到对应同构的表达界限。在构造表达中，通过提出的三个数学模型：递归函数、自动机模型和形式语言的文法，探讨了时间序贯的前后表达、空间的内外表达和空间的层次表达，这三种看似不同方法其实在表达上具有相当程度的等效性。</P>
<P >其五，数学建模。最好的学习方法就是结合案例，《表达的探究》为你提供了数学建模的具体案例，而不停留在纸上谈兵上。所以，这也是一本学习如何建立数学模型的优选教材。</P>
<P >这本书是为具有文科大学文化程度的读者写作的，基本没有公式计算，着重讲情思想，应该铺垫的知识都做了耐心的引导。作者相信通过此书的阅读，能让那些对数学有恐惧感的读者，从此喜爱上数学语言。</P>
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<P>呵呵</P>
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