Yshadow 发表于 2004-10-21 07:03:05

质数个数问题

<P>      质数个数问题</P>
<P>质数有无限个?</P>
<P>这个问题也许不像是问题,但是我们可以证明吗?</P>
<P>这里欧里几的证明很特别的:</P>
<P>假设质数只有有限个,设全部质数为p1 p2p3 p4   .......... pn, 作无穷递增等比数列的和:</P>
<P>1+ 1/p<SUB>1</SUB> +1/p<SUB>1</SUB><SUP>2</SUP> +。。。。。。+1/p<SUB>1</SUB><SUP>m</SUP>+ 。。。。。。      =1/(1-1/p<SUB>1</SUB>)</P>
<P>1+ 1/p<SUB>2</SUB> +1/p<SUB>2</SUB><SUP>2</SUP> +。。。。。。 +    1/p<SUB>2</SUB><SUP>m</SUP> +   。。。 。。。=1/(1-1/p<SUB>2</SUB>)</P>
<P>。。。 。。。</P>
<P>1 + 1/p<SUB>n</SUB> + 1/p<SUB>n</SUB><SUP>2</SUP> +   。。。。。。+1/p<SUB>n</SUB><SUP>m </SUP> + 。。。。。。       =1/（1-1/p<SUB>n</SUB>）
将上述的等式两边分别相乘得左边的乘积可表示为:</P>
<P>       sum                     </P>
<P>    a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n</SUB> </P>
<P> 所有不同组合    a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n</SUB> 各种可能的求和 </P>
<P>即:             sum       =</P>
<P>      a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n </SUB></P>
<P>又因为任意自然数m都可以分解成质数幂的乘积p<SUB>1</SUB><SUP>a<SUB>1</SUB></SUP>   p<SUB>2</SUB><SUP>a<SUB>2</SUB></SUP>p<SUB>3</SUB><SUP>a<SUB>3</SUB></SUP> ........    p<SUB>n</SUB><SUP>a<SUB>n</SUB></SUP>(算术基本定理) ,由此得:                                                                        <SUB>INF</SUB></P>
<P>       sum              =<FONT size=4>sum </FONT> 1/m
   a1 a2 a3 ... ...an                                                      <SUB><SUP>m=1</SUP></SUB></P>
<P><SUB><SUP>即:</SUP></SUB>       <SUB> INF</SUB></P>
<P>          <FONT size=4>sum </FONT> 1/m    =    ** <SUP>....   ...</SUP>*<SUP></SUP></P>
<P>      <SUP>   m=1      <SUB>inf</SUB></SUP></P>
<P><SUP> 上述左边             </SUP><FONT size=4>sum </FONT> 1/m   =1 + 1/2 + 1/3 +<SUP>......   </SUP>+<SUP>   </SUP>1/m+   <SUP>......</SUP> 的和是INF 而右边是个确定</P>
<P>                      <SUP>m=1</SUP></P>
<P><SUP>   </SUP>的数 产生矛盾,所以质数个数为无限的</P>
[此贴子已经被作者于2004-10-23 13:44:38编辑过]

Yshadow 发表于 2004-10-23 21:49:22

<TABLE fixed; WORD-BREAK: break-all" width="90%" border=0><TR><TD 9pt; LINE-HEIGHT: 12pt" width="100%"><img src="http://www.shumo.com/bbs/Skins/Default/topicface/face1.gif"> <B>质数个数问题</B>
<P>      质数个数问题</P><P>质数有无限个?</P><P>这个问题也许不像是问题,但是我们可以证明吗?</P><P>这里欧里几的证明很特别的:</P><P>假设质数只有有限个,设全部质数为p1 p2p3 p4   .......... pn, 作无穷递增等比数列的和:</P><P>1+ 1/p<SUB>1</SUB> +1/p<SUB>1</SUB><SUP>2</SUP> +。。。。。。+1/p<SUB>1</SUB><SUP>m</SUP>+ 。。。。。。      =1/(1-1/p<SUB>1</SUB>)</P><P>1+ 1/p<SUB>2</SUB> +1/p<SUB>2</SUB><SUP>2</SUP> +。。。。。。 +    1/p<SUB>2</SUB><SUP>m</SUP> +   。。。 。。。=1/(1-1/p<SUB>2</SUB>)</P><P>。。。 。。。</P><P>1 + 1/p<SUB>n</SUB> + 1/p<SUB>n</SUB><SUP>2</SUP> +   。。。。。。+1/p<SUB>n</SUB><SUP>m </SUP>+ 。。。。。。       =1/（1-1/p<SUB>n</SUB>）
将上述的等式两边分别相乘得左边的乘积可表示为:</P><P>       sum                     </P><P>    a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n</SUB> </P><P>所有不同组合    a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n</SUB> 各种可能的求和 </P><P>即:         sum       =</P><P>            a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n </SUB></P><P>又因为任意自然数m都可以分解成质数幂的乘积p<SUB>1</SUB><SUP>a<SUB>1</SUB></SUP>   p<SUB>2</SUB><SUP>a<SUB>2</SUB></SUP>p<SUB>3</SUB><SUP>a<SUB>3</SUB></SUP> ........    p<SUB>n</SUB><SUP>a<SUB>n</SUB></SUP>(算术基本定理) ,由此得:                                                                              <SUB>INF</SUB></P><P>      sum              =<FONT size=4>sum </FONT>1/m
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海岩秋沙 发表于 2004-10-28 23:32:11

<P>首先我不是数学专业的 在初中就见过这样的问题</P><P>事实上用反证法可以证明！很容易的。楼上的兄台所说的比起反证法就显的比较烦琐！</P>

方程式 发表于 2004-11-4 23:25:25

<P> 设全部质数为p1 p2p3 p4   .......... pn, <FONT color=#09f738><FONT color=#ff0066>从小到大排列</FONT>,</FONT></P><P>令x=p1*p2*p3*........*pn + 1,如果 x 是素数,则假设不成立,说明在pn后还有一个素数,</P><P>如果pn不是素数,显然 x 不能被p1到pn所有的素数整除,说明在pn后面还有素数,</P>

空空如也 发表于 2004-11-7 04:44:30

都差不多的

前来学习 发表于 2005-9-4 21:32:15

<P>后面那个当然好，而且格式也清晰，我几天前还是小学生的怎么看得懂那个</P>

前来学习 发表于 2005-9-4 21:34:52

<P>有没有欧基里得的，要交作业呢！</P>

CoCoYin 发表于 2005-9-6 05:46:11

<P>那是欧里几德的证法？？我怎么没听说过是这样的？</P>
<P>你引自哪本书喔？</P>

sxjmlzx 发表于 2005-9-7 04:04:47

<STRONG>质数个数问题</STRONG>
<P>      质数个数问题</P>
<P>质数有无限个?</P>
<P>这个问题也许不像是问题,但是我们可以证明吗?</P>
<P>这里欧里几的证明很特别的:</P>
<P>假设质数只有有限个,设全部质数为p1 p2p3 p4   .......... pn, 作无穷递增等比数列的和:</P>
<P>1+ 1/p<SUB>1</SUB> +1/p<SUB>1</SUB><SUP>2</SUP> +。。。。。。+1/p<SUB>1</SUB><SUP>m</SUP>+ 。。。。。。      =1/(1-1/p<SUB>1</SUB>)</P>
<P>1+ 1/p<SUB>2</SUB> +1/p<SUB>2</SUB><SUP>2</SUP> +。。。。。。 +    1/p<SUB>2</SUB><SUP>m</SUP> +   。。。 。。。=1/(1-1/p<SUB>2</SUB>)</P>
<P>。。。 。。。</P>
<P>1 + 1/p<SUB>n</SUB> + 1/p<SUB>n</SUB><SUP>2</SUP> +   。。。。。。+1/p<SUB>n</SUB><SUP>m </SUP>+ 。。。。。。       =1/（1-1/p<SUB>n</SUB>）<BR>将上述的等式两边分别相乘得左边的乘积可表示为:</P>
<P>       sum                     </P>
<P>    a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n</SUB> </P>
<P>所有不同组合    a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n</SUB> 各种可能的求和 </P>
<P>即:         sum       =</P>
<P>            a<SUB>1</SUB> a<SUB>2</SUB> a<SUB>3</SUB> ... ...a<SUB>n </SUB></P>
<P>又因为任意自然数m都可以分解成质数幂的乘积p<SUB>1</SUB><SUP>a<SUB>1</SUB></SUP>   p<SUB>2</SUB><SUP>a<SUB>2</SUB></SUP>p<SUB>3</SUB><SUP>a<SUB>3</SUB></SUP> ........    p<SUB>n</SUB><SUP>a<SUB>n</SUB></SUP>(算术基本定理) ,由此得:                                                                              <SUB>INF</SUB></P>
<P>      sum              =<FONT size=4>sum </FONT>1/m <BR>   a1 a2 a3 ... ...an                                                               <SUB><SUP>m=1</SUP></SUB></P>
<P><SUB><SUP>即:</SUP></SUB>       <SUB>INF</SUB></P>
<P>          <FONT size=4>sum </FONT>1/m    =    ** <SUP>....   ...</SUP>*<SUP></SUP></P>
<P>      <SUP>   m=1      <SUB>inf</SUB></SUP></P>
<P><SUP>上述左边      </SUP><FONT size=4>sum </FONT>1/m   =1 + 1/2 + 1/3 +<SUP>......   </SUP>+<SUP>   </SUP>1/m+   <SUP>......</SUP> 的和是INF 而右边是个确定</P>
<P>                        <SUP>m=1</SUP></P>
<P><SUP>   </SUP>的数 产生矛盾,所以质数个数为无限的</P>

xieguiguan 发表于 2005-9-15 18:21:01

<P>那是欧里几德的证法？？我怎么没听说过是这样的？</P>
<P>这个是没答案的.</P>
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