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[全国赛] 2005BDVD在线租凭

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发表于 2009-7-24 00:04:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
6 B+ E! X1 D" |9 _9 }9 W  F  a1
  F8 E; h& a& w, A: TDVD 在线租赁的研究" D. K5 f# r7 H/ W3 k5 O7 \  s
尹作龙,姚明,金伟
7 ]) g4 }6 r5 G  {$ l+ J指导教师 汪晓银
* ]# |  Z+ v* s7 l$ [1 ]9 {$ |+ a5 |[摘要]:2 n& {- ?% r$ ^7 b7 L
随着信息时代的到来,网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站9 b+ o3 r1 W7 O/ N% Y
利用其强大的资源和知名度,面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如,音
* `  R, A  F- q% T6 s2 W6 K, }. f像制品的在线租赁就是一种可行的服务。本文主要讨论了在线DVD 租赁的问题,对网站
# p* `2 r' e: Q1 E3 w* d& k5 }如何购买DVD,如何分配DVD 进行了一些研究。对于问题一,我们首先把会员根据每月; _! U. w: a6 _( Y3 t+ Y  U
租赁次数分成A、B 两类,并对两类会员归还日期作了合理的假设,根据求出DVD 归还  B1 s* J+ L* E9 _: @- ]" A5 h1 I
的期望值。最后求得会员归还一张DVD 的时间期望为12 天。然后用DVD 的周转次数来
  r& n7 a) v. F计算网站对某种DVD 的购买量,最后根据问题的要求,求得每种DVD 至少准备的张数如% |" J) I: M- i2 P! d
下。4 B$ m9 ?9 F' i( P& x" P  ~5 r1 Y
DVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
  m! l. c# t; @- z- d/ p7 {一个月内至少 50%7 [- l5 l1 @" a! \& b
看到的最少张数5 @1 u' S8 W: L2 d8 K
4000 2000 1000 500 200: r* z+ S. u2 @& e7 ]
三个月内至少 95%" k' ^; M8 _- M  S0 d+ w# b. E
看到的最少张数  a9 s; c- ^  |* @
2534 1267 634 317 1270 q5 d/ `, H$ t1 I4 ?
问题二,我们首先对满意度进行了定义,并作出相应的假设。根据假设建立0—10 j+ Q! \+ B2 q( D! a3 V  l; N0 u
规划模型,用LINGO 软件编程求得各种DVD 的分配方案。我们根据实际情况修改了偏! o' K" b# T3 x4 O) U2 |' L3 D
爱程度,再次用LINGO 编程求解,得出第二中分配方案。第一种分配方案的总偏爱度
, D& v: g' d6 e" {' }# O8 \4 r7 FU 为7924,有30 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员;第二种分配方案的总偏) H: Y! o% x$ T. n0 V8 C$ Y
爱度U 为8191,有8 张DVD 分配给了没有预订这些DVD 的会员。虽然第一种分配方
4 @9 m3 E+ {/ n+ Y案的总偏爱度优于第二种,但是经证明无论怎么分配,至少有8 张DVD 会分配给没有) m9 R, e, C; c- X
预定这些DVD 的会员,因此我们选择第二种分配方案。4 W7 n% U0 m  T. X
问题三,根据满意度最大,我们建立了一个规划模型,由于模型难以用计算机求解,% t$ Z/ Q3 A* Y! D# t
我们改用计算机仿真来模拟现实购DVD 方案,模拟生成的购买的总DVD 数为3086。
, w5 C8 L, F( {, }4 a! b3 X问题四,在DVD 的需求预测、购买和分配中重要问题的研究中,首先研究了DVD# H$ L( y! E2 w1 d" |  M
的需求预测,并建立了灰色GM(1,1)模型,灰色GM(1,1)模型能够克服相关数
, z6 M2 p: ^( X+ j据不足的缺陷和避免人为因素的影响。这表明基于灰色理论的预测方法,适合于对DVD5 R: U$ N5 m, q: \
在线租赁业务趋势进行预测。该方法是切实可行并有效的,并对DVD 在线租赁业务发展
/ w: a7 Q0 U7 E( m4 ?规划有重要参考价值。然后从网站的赢利角度出发,建立了一个以赢利函数为目标的线
7 V% @8 N: N9 f7 t性规划模型,此模型在租赁方面有着较高的参考价值。
0 m1 W+ V  f/ ?2 A1 o最后我们对我们所建立的模型及求解方案进行评价,推广。我们考虑到对于更大规
* C& E" s, K# l! q2 g模问题,现有模型的求解就会困难。因此我们想了模型的另外一个算法:贪心算法。贪  h" B$ l+ a: P/ p+ [; J$ c& w
心算法速度快,但得到的解难以达到最优。9 {/ [9 i9 |7 J$ r+ v5 A9 p4 H. V  D
[关键词]:DVD 在线租赁 0—1 规划概率模型 计算机仿真 灰色 GM(1,1)模型
6 X6 k# D3 z$ L# f3 X: {2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
+ }* `- Z- J; j' p; z$ r2
& e- c+ Q2 U  O4 |1 G& k一、问题的重述) j& i% i! s; K. \7 l1 R
考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD
' V+ |- E" Q7 v; v% [! n- F' _租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽8 d1 s: U8 n! g  g0 n9 a( H6 C
可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。
7 o+ f# [: i) m. ?. d) V  i网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不
1 B3 f. ^6 F5 w% V! e2 |+ o* U" O得超过2 次,每次获得3 张DVD。会员看完3 张DVD 之后,只需要将DVD 放进网站$ Z4 d: ?  F6 z% B8 k6 e# |
提供的信封里寄回(邮费由网站承担),就可以继续下次租赁。请考虑以下问题:
) m: U$ E$ w  O1 ]4 R/ e( y(1)网站正准备购买一些新的DVD,通过问卷调查1000 个会员,得到了愿意观- g0 k2 b9 g) ~  p0 X" [5 r  _7 r
看这些DVD 的人数。此外,历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD 两次,而另外的
9 Z  O6 Y! e! T- z  q' N40%只租一次。假设网站现有10 万个会员,对表1 中的每种DVD 来说,应该至少准备7 a7 T$ x  ^2 K1 X- J
多少张,才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如
  l. E" b; S+ p2 }( [* h果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢?
- P9 R! F8 V) M(2)表2 中列出了网站手上100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000 位会
) U, Q( F" P+ T) t6 m0 A8 P0 ~员的在线订单,如何对这些DVD 进行分配,才能使会员获得最大的满意度?请具体列
$ S7 k4 O! O9 V" \出前30 位会员(即C0001~C0030)分别获得哪些DVD。9 ?4 I) K" }- b0 X
(3)考虑表2,并假设表2 中DVD 的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理
" p& O1 _; L# e' w/ ~3 u  o人员,你如何决定每种DVD 的购买量,以及如何对这些DVD 进行分配,才能使一个
5 |, {/ g8 g  x1 O3 [  l' q月内95%的会员得到他想看的DVD,并且满意度最大?
. B' R5 p# y( h* p! G: T# S5 E4 a& @(4)如果你是网站经营管理人员,你觉得在DVD 的需求预测、购买和分配中还有0 t/ n! y1 g/ _6 v' E* q* }
哪些重要问题值得研究?请明确提出你的问题,并尝试建立相应的数学模型。% D1 ?* E6 Q- u* x& }: o
二、问题的假设/ M9 w' W$ h" }+ m
1、假设所有的DVD 都不能拷贝
  m# X5 X! `9 @1 u! t9 @/ `2、假设调查资料具有一定代表性
. r9 V" c5 X, q4 @0 P% i: q' K3、假设所有会员自觉遵守会员规定6 _: |% y  w  ?& K' F9 N
4、假设在租赁和归还过程中DVD 的遗失或损坏忽略不计
8 Y: h/ g/ }' T% V  X4 W* o5、假设DVD 的种类与购DVD 费用无关
3 K5 L: d0 B6 ^$ r8 g1 w8 ^& w三、符号的说明
( X* o3 x  N9 P1 I* k* h9 {符号 符号说明
/ ~/ f/ n- I8 \; U/ H: tV 该网站拥有的总会员数, r% \8 z; v" a- k* [4 K: ?/ B
Dij 第 i 个会员在线定单中第j 种DVD 的需求情况
& A1 m. p. @% C- t( mDLij 第 i 个会员对第j 种DVD 的偏爱程度
( h9 U7 K- [. C0 d8 J' ?! Cyi 第 i 张DVD 的现有量
+ K8 R8 A' B/ zMi 愿意观看第 i 种DVD 的总人数
+ t* k# T" T& p: `* r8 {8 X# APi 愿意观看第i 种DVD 的人数占总人数的百分比
- y1 }. M7 ]6 ?, Q2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文; H: E6 {* u* v+ U
30 R8 f2 X/ ]0 R
R 为满足会员要求的百分比数2 q- P0 |/ ~9 _- a$ c' v
U 会员获得 DVD 后所得到的总偏爱度,其值越小满意度越高
* o" U0 l0 ^6 x6 }; b3 X四、问题的分析及模型的建立及求解
$ k5 D; l9 [$ m+ y4.1 问题的背景资料
' F& z) ]8 B5 @Netflix 目前是美国最大的DVD 出租网站,现在公司预计可在2006 年达到500 万订3 i/ R! n: e2 b) o5 p
户。这家网站的经营方法是,顾客在成为网站的固定会员后,可在网站上选取自己喜欢- \- F" _6 S- j) p! o! v4 i8 C
的DVD 影片,该公司现有DVD 种类有5 万多种,包括一些最新面世的大片,由这家
5 x8 U% Q, U# ?" v' f0 w网站快速寄送到顾客的登记地址,每次最多3 张。顾客可以无限期地借用这些影片,但
3 C: _& ?4 i# b' D) a只有在寄回这些影片后才能借用新影片。顾客只需每月缴纳19.95 美元的会员费,而' d$ ~+ R; o) h4 u& C* b/ B3 [# n
邮寄费用全部由网站支付。对顾客而言,坐在电脑前拖动几下鼠标就可得到中意的影片,1 m0 [% M8 C/ c: X* F' m
既省时又省力。1 s) q) X7 i& a/ K3 B# J" C! _
据统计,超过60%的美国家庭至少拥有一台DVD 影DVD 机。去年,美国人在家2 s9 D7 K+ B) z4 w1 i  n9 v
看DVD 的时间平均为78 小时,比2000 年上升了53%。DVD 的销量和出租量则上升# g: X' U0 P* o$ T8 r
了676.5%[5]。
: ?3 S7 ?. X3 l" G4.2 问题一的求解
5 H! Z" y6 w; i$ b! f% a4.2.1 问题一模型的建立与求解- @' }, z* D5 ~- f) B$ j0 D. W
对问题一的分析,我们根据实际情况作了一些积极的假设,并简化了模型。从网站
: L3 j) u& \1 x3 S$ _经营者的角度出发,出于对自身赢利的考虑,希望DVD 的周转越快越好。那么我们就
) Z8 J! c; _! ]. \# P  r从DVD 的周转情况来考虑对DVD 数的需求量。
9 Y! _4 Y2 \/ v4 n由题目我们把所有会员分成 A、B 两类:如表1
* D! U, _9 v4 J3 l% `表 10 v$ r. m1 e" j2 v
类型 每月租赁 DVD 次数所占会员总数的百分比 会员人数6 g4 q* N+ a1 O! K- u1 W
A 类两次 60% 60000
2 y# K; E8 }: p4 K: \B 类一次 40% 40000& ?+ i  B. v; y/ e4 T. D
考虑到 DVD 的周转,我们对两类会员作以下假设:9 B$ X8 k6 p9 E- }$ M. l; K9 N
A 类会员归还一张DVD 的时间X1 范围为3—15 天;/ l% ~7 P# T% d' X" k4 z
B 类会员归还一张DVD 的时间X2 范围为3—30 天;9 P. p3 k% j' q; ], Q5 F. V0 {% B
根据现实情况,我们假设X1, X2 都服从等概率分布,则:
* R6 A% E( C& T( Y9
" w7 T  F! @- ^2 @& Z! [/ ^  }" L( \2/ C+ A) ^+ H$ ^# A$ U) W7 p4 `- U
15 3
/ z& K  r" \5 O4 O/ c; T, e1 =
" C* ^3 H8 ~% \6 E  i+ [5 Q+$ P8 a$ \6 p# }5 z- C4 q; _
EX = 16.5/ p+ m: `+ y; y; i/ m( ~/ l
2
& @% p& q% `+ i/ g1 S30 3- a9 g. A; ]" j% t: e% [8 F% ^
2 =) t  A" }/ i, X4 c" J
+
* H2 K# ~- \8 P! M, aEX =
8 m, y4 \2 u6 ?( Y" W, B4 K2 q则会员归还一张 DVD 的时间期望为:μ=0.6×EX1+0.4×EX2=12 天。这就是说每张# U0 y( @, V' V/ S
DVD 在会员手中保存的时间大约在12 天,
6 j, [7 n6 ^6 \3 `3 j6 B那么:# l5 Z) K! A5 g3 t
在一个月内 DVD 的周转次数为:N=30÷12=2.5;; X  S. @6 e4 l7 J% S( C% e4 {
在三个月内 DVD 的周转次数为:N=90÷12=7.5。(设30 天为一个月)) ]+ H- z7 I# B) w
根据题目中调查 1000 人愿意观看各种DVD 的人数,我们得到会员愿意观看各种, u% _2 r% d: a/ J" Y2 d0 [
DVD 的经验概率分布统计结果如下(见表2):$ p$ A5 ^; H6 ~% q
表 2! c. D9 n) ?) N
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文" k% ~4 k/ f$ F) K9 k+ e
4: f& \3 H# ^8 L% d' {% c
DVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
7 a- B0 Q! v1 @, a5 L1 w2 N- s( c" V经验概率 Pi 20% 10% 5% 2.5% 1%
4 R9 \" j  V. Q  V- B4 T$ W# N8 l/ bR 为满足会员要求的百分比:一个月为50%;三个月为95%。, X$ j7 c& f! k
因此愿意观看第 i 种DVD 的人数Mi 为:Mi=V×Pi×R=100000×Pi×R (V 为总会
1 C9 A' L& h$ Z0 A员数)。! l$ Y" B% R% v% C2 o" m- |
那么所需要 DVD 的最小数量为:S=M÷N。(向上取整)
2 B5 ^( |3 X) N8 v8 X我们得到 S 的函数表达式:S=V×Pi×R÷N ;
$ a9 a4 z! G& z( B8 ^求解得到每种 DVD 的准备张数(见表3):2 R- R. n/ G5 a; T
表 3
) c6 U& }$ q/ d2 ]8 O: UDVD 名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5, |$ q2 L& ?$ l" a5 _
一个月内至少 50%5 ?9 `8 l+ J+ S# U  C
看到的最少张数0 @( v& W) i( d, o9 O: ^
4000 2000 1000 500 200
# k0 B6 D7 n' s9 P  }8 W三个月内至少 95%
0 ?3 I1 L  U6 s4 t& |# H4 ]看到的最少张数2534 1267 634 317 127& G  [+ `: w4 G9 W. ~( P
作为一个租赁网站的经营者,总是希望赢利更多,就要提高周转次数,减少周转天
+ b: [! l% M/ Z+ ]6 z. _数,这样他的先期投入也将减少。就可以考虑尽可能缩短租借的天数,来增加网站的赢$ ~# n9 {) q6 ?; G1 ]
利和减少先期投入。若我们将归还时间定为3-9 天,则期望为6。一个月的DVD1 所需
0 d/ q5 h$ j2 q3 G# {# W8 p* H最少张数为2000 张(小于4000 张)。
3 ?3 X4 d9 Z& w) X* g3 i( Q4.3 问题二模型的建立与求解
* l' ?$ U, ~6 N8 N1 R( R1 M% n4.3.1 问题二的分析6 J4 r0 ~% o4 ^$ \0 s! \! Z7 J0 w
顾客满意度可以简要地定义为:顾客接受产品和服务的实际感受与其期望值比较的$ P' ?, ~# K: w
程度。首先对满意度进行了如下假设:在会员的在线订单Dij 中,数字越小表示会员的
2 @/ R* V& N7 s! u5 P1 Y) ]偏爱程度越高,如果会员得到他偏爱程度越高的DVD,则会员的满意度越大。假设会
9 h1 ^; K9 Z3 b3 c! }$ j员对DVD 的偏爱度为:
# v' B0 w. p' s! D% x+ n. uïî
! n8 m5 f3 N/ a! rïí ì+ p0 \% `1 D/ T6 g
¹
3 u' X$ Z/ U! s: ]) m: Z=2 q' |* R! L1 L' A: W. S# D
=
4 W  o$ w5 n3 T4 f- ^* v, 08 ~9 o+ c, N5 @5 C4 g' e3 w
11, 0
/ D4 r5 K" B* V& _ij ij. s9 \+ K1 T0 R) C3 \9 u
ij7 Z' s7 T6 k+ E
ij D D1 [5 s  F& O( [! }, ]
D# T  k  s; @( o' I: T7 ^2 n6 i
DL
9 Q- B: z, W' G- B5 Y该问题的目的就是分配当前的订单,使得这些顾客的满意度最大,可以用0-1 规划
, Q; y1 h- ^% S% U/ ~模型来求解,定义0-1 变量Cij(i=1⋯1000,j=1⋯100), Cij 为1 时表示第i 个顾客租到了
/ a- N6 d- F! I! ^; ^: x第j 种DVD,其值为0 时表示没有租到相应的DVD。& c* {7 c2 |# y* S/ p6 A% m2 ]7 l7 m- [
4.3.2 问题二模型的建立
7 d/ B7 y8 E: A6 T& l7 G会员租赁 DVD 满意度的目标函数为: åå
9 ~; K: U+ b$ H( I3 A2 _- x  Y= =, h! S9 d8 n, n6 X
´
. T! d" t5 ]) S4 p4 N* H. [1000
& i  p% o: @, u0 U9 b1
% I0 T' R9 f  a- n: _7 g3 M1002 H- }$ G. S( b: V
1
* X3 G  I, \! A) {; emin
, v8 b" J& I! E& k% Ki j3 \, l3 `1 q5 g- J: J
ij ij DL C% U+ h+ H; o% A; M; |9 I
0- 1 规划模型的约束条件为:
4 `% e. r' _& m% R% J1、每个顾客一次能并且只能租到3 张DVD;% I, c& [0 J. V
2、租赁给会员的每种DVD 总张数不能超过现有DVD 数量。! Z9 E) ]8 }% [( L
由上述分析得到如下的 0-1 规划模型:0 b9 o+ t' v, D
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
/ ^) S2 ^# K5 {% g9 i4 j; ?51 P% S4 \1 Y+ R, n! F, `! V* C7 _% B
ï ï ï ï5 p% ~/ a, r$ x# a
î4 l9 M4 H/ c2 z& |8 q! o" c6 ]( D
ï ï ï ï
6 ~. S4 V0 ^+ d" E" L5 Z  q: {í
1 [4 x8 }$ _9 {7 U$ K4 wì
6 ?/ ~' \! f7 q7 S* r9 }= =) C6 [0 `3 j0 P' ?
£9 \) k' f' D% z5 a' ^
=
8 n# S% d. f6 e; X  r9 K4 F=
& n2 K- d% d$ Z1 S6 _1 `! g# ~: M´) }5 N% P9 {! K! Z5 L- u
å+ R/ A8 g- Z3 p$ }' n1 R0 g
å" u5 O8 K$ B5 W3 d9 Q$ S" P5 u$ Z$ Z( K
åå6 u  _6 F5 |3 d7 P" d
=4 E' [4 W; L) B: ^# v
=
' }/ O, A2 U6 q! m) z= =3 v% L! Q- [5 ^: r, O- M* R( S% E; W
( 1 1000, 1 100), G/ F- e6 J5 X3 r
3. r5 ~8 J* p$ [1 }7 w; `
0,1
* O+ n+ O) T) u. .
, W! s+ e) Q5 f; c: Cmin
# h3 k  b' P2 G1 w; Q. c! b+ n1000
1 b- P8 u; c) R# A* a1 Y6 s1
* [# f9 E8 |' o) A0 f100( r4 A3 k  l& E( `& p
1
, R+ I1 m  L, Y0 ~1000
7 t# H3 O+ g; u& a. Y9 u1
6 j8 l! K; l) U8 y5 Z100; H+ t+ ?* t' c0 `: `2 o( }- O7 h- D
1
) K' h9 P0 C, Y* A% W, Ki L j L' {- R4 B2 A' i4 p+ r+ n4 ~
C y
4 j' T# y# M0 O' b. b5 PC
4 O7 \: P* K, n) n$ LC
- z( i# Q0 p4 _; T0 P  Qs t
8 y+ T6 S* ]- W( r, ]; UDL C; a* e  H2 F* W; ]) N& S
i
! i  P' A! P. c+ q+ |7 aij j: B& q# p" s) Q- Y
j
9 Y% o; ?" s% W% |; yij
  X% M# A3 U0 X, }" e) dij
! D& L% v2 b" ~( R2 U2 r# di j
4 W% _# z/ a6 n" Z# K# w1 Y/ vij ij" x/ ]4 l; d1 s+ `
4.3.3 问题二的求解
/ q7 e* y' d. r+ H! w7 [2 M6 p. t对于上述的模型,在用LINGO 编程求解(具体程序请见附件),得到分配方案为2 v$ Y9 @3 m) V8 c! \
Ci,j 求得总偏爱度为åå0 V" r- E' R' c8 k3 C# \
= =
2 q' A2 A& @# e3 C. Q. i7 `= ´5 }2 s: n2 K+ O% l. o
1000; ^. t  n" P6 `
17 ?2 A% e& M' _5 q5 S
100, b+ r/ _0 \: u
i j 1
& @' \& P5 g6 v4 iij ij U D C 为7924。由Ci,j得到分配了30 张DVD给没有要求
: }' y/ ]. Y3 \* i0 t. ?3 J6 V' X) D预订这些DVD 的会员。前30 个会员租到DVD 的情况如下表4:
2 P( m9 x7 C  X, |; w表 4" l1 \; I6 |$ K9 T
会员号 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010
' V9 N8 w3 k. Z# x" v1 8(1) 6(1) 32(4) 7(1) 11(3) 19(1) 26(3) 31(4) 53(1) 41(6)
  X/ }( R: `2 r4 h$ r) w. B) o. Q2 41(7) 44(2) 50(2) 18(2) 66(1) 53(2) 66(6) 35(5) 78(3) 55(2)
" f1 [& T7 j4 h& a分配
9 e' S- ]! Q2 D( ~/ S& G4 g8 m: w* GDVD 的  j' ^0 m4 z' S2 ?6 x
种类号3 98(3) 62(4) 80(1) 41(3) 68(2) 66(4) 81(1) 71(1) 100(2) 85(3)
0 ]" ~7 F2 W; R& }会员号 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020& P1 E6 x& t3 U+ N- l! }8 @" B
1 59(1) 2(2) 21(3) 23(2) 13(1) 10(4) 47(2) 41(1) 66(4) 45(1)+ D- I0 d( ^6 j% z
2 63(2) 31(1) 78(2) 52(1) 52(4) 84(1) 51(3) 60(2) 84(1) 61(3)
% @, K0 R2 j1 J1 @5 d- a分配$ W5 U6 g5 O& E" Q4 k1 s6 I
DVD 的- Q( F6 o. J8 Q; u  g4 o9 ~
种类号3 66(4) 41(7) 96(1) 89(6) 85(3) 97(2) 67(1) 78(3) 86(2) 89(2)
) a9 T9 M1 U3 z: Z  J会员号 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030  T8 S. A; ]. n1 @7 E. d
1 45(2) 38(3) 29(2) 37(4) 9(1) 22(1) 50(4) 8(1) 26(4) 37(2)3 |$ S4 Y9 V4 i# a/ ?6 X
2 50(5) 55(2) 81(3) 41(2) 69(2) 68(2) 58(1) 34(2) 30(2) 62(1)
0 {! H4 Q) |. W+ l分配; e& h/ ~' p) o4 u0 W
DVD 的
: F+ b) L* E* n4 \种类号3 53(1) 57(1) 95(1) 76(1) 94(3) 95(3) 78(7) 82(3) 55(1) 98(5)
  h+ w$ G+ I! P5 W3 h) k& @, B注:括号内的值为会员对该DVD 喜好程度。
, ?8 @% D9 }0 t! j为使会员得到自己没有预定的 DVD 总数最少,可以将DLij 中为11 的数增大变为/ D- |# P+ H( _5 l" O$ h9 A# k
1000,即将此偏爱程度降低,再如上求解得到一种新的分配方案Ci,j,求得总偏爱度U) r% N/ F" s2 J! c+ R
为8191(>7924),但是经分析,只分配了8 张DVD 给没有要求预订这些DVD 的会员。# y% Y% e) K- H% A$ a: g9 G
事实上这里的8 张DVD 已经最小,具体原因是,现有DVD 总数为3007 张,每个人得, ^# Q% D/ I4 s
到3 张DVD,1000 个人就得到3000 张DVD,则还有7 张未出租。根据所给的数据,
( G+ ?7 |( N4 G, K( \第37 种DVD 现有106 张,只有91 个会员愿意租此DVD,即第37 张DVD 按照会员的& W/ w8 K- J  V4 y
需求无论怎么发放,也会有106-91=15 张剩余,而总共应该只有7 张DVD 未出租,这
0 u6 r" b" u6 Y& h; k* x1 W1 h样就无法满足所有的会员租到自己想看的DVD,而且一定至少有15-7=8 张DVD 发给- S) A# c# T$ J& k
了没有订这8 张DVD 的会员。% C$ ]; i$ ~$ n5 x) p) ^# F0 n) \
比较上面两种分配方案,我们选择第二种分配方案。第二种方案下,前30 会员的
" I& i7 n( c1 ]0 P. q租赁情况是只有第25 个会员的第3 张DVD 与第一种分配方案不同,其值为81(4). g' e6 j( M# I7 e" p( L
4.4 问题三模型的建立与求解
7 H, q+ ?9 u/ C; C8 k6 I' v& U0 t0,1 变量8 ^1 X) A, v- }8 T3 n) t
每位会员租 3 张DVD
  U9 v- `' k) y# ADVD 现有数量的限制; S9 @; L! o$ d3 Q, w6 N9 |
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文1 y  N9 ~  M' |2 F( S
61 D8 H9 d, X6 b6 Q
4.4.1 问题三的分析及模型的建立5 r0 \9 a- I4 R5 h6 m
分析该问题的目标是保证一个月内 95%的会员得到他想看的DVD 的情况下,使得
9 R  F+ \: X0 u) c8 X5 G: A/ s会员的满意程度达到最大。& M4 x/ N. o6 E3 V& H/ O7 t2 O) e: h
假设分配给第 i 个会员3 张DVD,且这3 张DVD 都属于该会员预定的DVD 那么
" d3 o1 G8 L% k) n记pi 为 1,否则记pi 为 0。0 x4 P" ~. @7 \) }: ^2 `1 a
ú úû9 }6 k8 I7 l' y( g- B& o# X' e
ù
. k9 p0 {+ {$ U' S/ Yê êë
* u2 R" j+ C5 w" `é' I! p9 e0 f, s* O$ _
÷ ÷ø9 O# G9 q( n0 H' L
ö5 s) T( h, H) g
ç çè% r2 D  J& i" `  ]7 e. q
æ0 L& ?8 q3 Z6 [7 O8 G0 J! R  l' g
= å+ l) m* p0 J! O$ Y' {$ U! {
=
/ }9 r/ l& M7 R3
+ s' \; z' m* V# q100' A& k# ^( T9 ^
j 1
, N& ^* A9 a; bi ij p C (注: []为向下取整), F) X5 d# w  M. M
要使一个月内 95%的会员看到他预订的DVD,则得到0.95 1000+ m4 X# F+ ~# }/ C0 u/ m
1000
- \$ C0 z/ i  F: |) [& Y) I% r1
! v# W' W1 ]0 K1 |; y7 s0 i; k5 O  u´ = å
( ?/ N) Z/ M8 b7 F% N% x= i; ?5 L; q: n, w9 _. b
pi: D4 X; L3 s$ _+ q
根据问题二以及这里分可以建立以下模型:
& y) a% q4 k8 a) F0 [ï ï ï ï ï ï5 k" O! |4 [! C2 l
î8 h. l3 r4 o  }! G) u
ïï ï ï ï ï. d- a9 ?6 \9 ]5 I* j& J. t
í2 I/ x+ u( S* e, [* q: j
ì) \( F; E2 v, L  v4 E
= =8 o' x, L/ D5 r# x. r
=
! j* F. F7 N2 y; J& {* Lú úû
/ D- ~; G: B+ o* A: Iù
& s" G: }5 R2 c# X8 g4 T& ~ê êë
2 V  W( D' F2 R& [; mé7 \7 i# @' f, ]2 d4 M, C* m
÷ ÷
8 ]2 n& s* l( vø
, p, q/ ~8 C3 p4 H& [ö
$ b) p' V3 r, ^. P% i+ [! |& g' m2 pç ç
2 k  W- _1 B+ w7 J. \è
, L. L+ W7 V. H! a, y- P* Fæ
  h8 r( p0 V+ A# A+ t$ V2 y0 X- j0 D; a£- X, x# }; m9 u6 y& j
=
  r  c2 c: z7 W/ g# }1 e=$ C+ w" U( |* X, u. Z- X) n" p* O
´
  P0 N+ u7 ?* Xå å
& j1 O  y: S, K. w& Tå
) v. Z+ A. ?% i5 }å1 m- S3 c3 G9 x. ]; u& @
åå5 c; m: M5 d3 t  `2 u# ?
= =
% p2 \9 D# Y  F$ J$ K=+ I2 U( i3 \& t- \, K  ]& u- c
=) z* I& e! e* ~, H
= =6 F+ A( _% R; @6 q% e
( 1 1000 , 1 100 )3 q, c4 m) }% i* F- @
3 0.95 *1000
8 W  m) z- W$ d  O3 n; g: D3
: u7 l5 O" r: D" A: U5 H# p$ C0,1
6 b: U1 y0 D9 s  w$ x.6 q. W" d: J1 G
min
1 m; {$ f- u: z' {3 L6 g. ]" |1000
% g7 q* I( ~* q- R% R7 j* t' e0 t1
3 e; S3 p! o! I, G100
+ y* J# k" O/ c1 _# S4 ]1% W9 b0 R- |& K& v
1000; G. k6 |  O/ z  a$ ^0 r4 x
17 \' O( l0 [/ [0 y' R8 t) t
1005 D6 o% d& g- G0 ]$ N$ B+ y
1
' s0 x& x- {0 _6 c6 h1000' k) e% M3 ^$ ?& u- Z- n( t
1+ p) S# E, Q# O( d& O+ ~# Q* Z
100
* {& b! e% G1 N3 v, g) n1 m8 X2 y1
4 _. u8 p, N, Q. wi L j L
. W: V3 F: k* N2 N' @C9 I( M, V- B$ ]4 l
C y( w( m1 j0 E* D1 ]) F1 f
C
5 L6 d. F$ Q. `" [+ M) F5 E) t. RC
4 K$ z& V2 I# w7 j/ Es t8 A4 A& f& B$ L8 |
D C5 G# e& G1 `& q$ w: |8 o6 }" V
i j" W4 N) `* o3 E9 b
ij- C3 S) U$ F0 u; ~( G: g5 V) V# g
i4 u( }3 s% N/ l" Q( |( D3 T
ij j# _9 W9 r6 U* `/ s, V9 S8 i
j- ?. L5 S$ ~7 ~9 X2 _% ^& N
ij+ s4 b+ ^5 B( N9 j) h6 h5 j
ij) M* m* X/ e* I" W+ N: E
i j% A4 {/ L" d) a' F" S
ij ij$ ~0 Q* d& r0 p
4.4.2 问题三的求解  t9 H( e9 F5 i  ]# e
上述模型难以用计算机实现,这里我们用计算机仿真来解决该问题。仿真前先进行. ?( X" w* Y+ Z+ C* j0 [
如下假设:7 ~1 v8 M3 T5 s2 W7 q2 Z0 b
a,假设40%的会员一个月只租DVD 一次, 60%的会员一个月租DVD 两次,会员4 c0 }5 P9 X. p$ Z2 y& x1 R! \
还DVD 天数在3~30 天内并服从等概率分布。; z* T* c" w: B2 C9 ?& N6 F
b,假设每位顾客都有95%的概率租到自己想看的DVD,若一位顾客按偏爱度订n/ N( ^2 `  I; F+ R* K% ^) r. |) x
(n<10)种自己想看的DVD,设该顾客租到偏爱度为k(k<n)的DVD 的概率为
. r+ V! s+ ]; }; \, P. ?&aring;=7 r2 }1 u) S  T, a
-
: ^4 Q' k  h1 {, p8 C5 l, ]-$ u  W3 \. h9 Q% W
=/ z4 R- H  u' n( D* `7 I6 t" x
n9 G) |3 O5 D, `# k) ]% y
i i
% c6 A7 y; M3 o8 {k  b+ N+ u( |, g* \
p k# o# X) r2 Y; H4 Q
1 118 F* [5 ~3 b, q# T/ I
116 w- ?* ?% u+ n! I, a- x+ Y# o+ ]
( ) ,2 v$ S# T, u7 [2 B9 c
c,假设已经租到DVD 的会员只有归还DVD 后才能再租,6 w' Y6 ^; [9 E6 R
在此假设基础上进行模拟一个月内 DVD 的供求,得到这一个月中每种DVD 的需7 J1 l; S5 `# ^/ A/ m, Y
求的最大量。仿真流程图见图1,程序见附录。
4 }! m) i; C8 Y- v; x' B  i1 ]用 MATLAB编程[1] [2],经过多次模拟,得到每种DVD 的购买总量在3085 左右,: k; y. \( t. j2 E6 [" i, s  O
其中一次结果得到各种DVD 购买量依次为(见表5):
/ X; f5 {4 O; U+ C1 ~0 O- Y  Z表 5
7 n" B  n5 P3 Z% ~, J3 p6 BD001—D010 28 33 29 26 24 30 31 35 28 27
( U' I5 S# _0 p6 k( u; _" \& hD011—D020 25 24 35 39 23 34 37 29 27 35
; R" A- R: D7 l0 ^8 w, `D021—D030 33 31 42 28 32 32 27 23 35 355 a" }6 Q% J1 |9 V  k( y6 b9 B
D031—D040 35 29 22 28 38 32 30 33 30 29
8 A0 s% v" z( i+ q% I0,1 变量
, S& e! q& s3 o: _6 e  i% U: C6 V* O5 f每位会员租 3 张DVD
6 N2 C& n" ^% Y$ T. G5 tDVD 数量的限制5 L( _7 e, {( U
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文( P& M3 x; Y+ |
7
7 Y- x( l+ g& {- AD041—D050 34 39 23 25 38 32 35 35 27 305 Q! v0 ]" _" n9 m
D051—D060 31 31 38 21 30 32 35 31 36 38
9 L& d; O3 l6 n& hD061—D070 25 33 23 33 34 43 34 40 42 369 |3 C' Z/ U5 c
D071—D080 35 36 30 30 33 29 21 31 23 33
6 Z3 A3 l7 y. ^* S: \' ?D081—D090 34 20 21 26 33 20 31 20 38 32
7 P) l" b# \' x1 r" Z2 HD091—D100 43 25 30 31 29 26 29 30 26 34/ P: J" w: ^% z  ^
总和 3086$ ?" j! I+ a) m
Y( n, ^; z' q  F/ O
N4 k8 u! ]  Z  {+ z
Y+ D/ d; Q& c) ?" Y8 Q% Y6 \% B2 y, ?! K
N
" _0 f% L2 a7 m" I7 XN
2 V- ?, I: E% \' QY
1 `$ A( {0 a" `$ W: [Y. z- W) `0 e  ]7 a3 K
Y
& ]: y# _, X. ]. e( y* [i<30?
8 P) b$ O6 l. ^3 b' m4 I3 mi=i+1 第i 天
" R2 {' j9 i" y9 {) [7 Z/ `j=j+1,
2 S4 k# H8 v, m1 q3 F第 j 个会员
) d6 X3 c- c3 [6 k6 Xj<n?3 e8 r1 I6 R8 c; R- h1 C
会 员 j 是否还9 ?' Q* w! U: ~- B. O) O
租到DVDd1,d2,d3,$ _2 V# y* N8 T$ V
D(d1,d2,d3)减1
4 ]- e" s' \- Q4 V' f/ u计算 30 天中Di
3 h3 h3 L! U5 h' k" A+ ]% W的减少最大
' D! B% e( D4 |  o, m5 G结束
+ n( Q4 t$ v3 b- g4 O" a1 rN  ^8 S) U' R4 C$ `. v
将 1000 个人分类i=0,
+ K! V# h6 r" l0 n) B* v8 }D(1..100)=1000,& ^( V, j0 l0 [$ t3 ^5 b" S
j=0,n=10000 B  `" X- n7 z4 d& o
还回 DVDd1,d2,d3,
+ f! I1 J6 ~5 i6 sD(d1,d2,d3)加1
2 q& g# C! ~6 z会 员 j 是否租
; U& b4 B# _! ?; N& _% X' X2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文: \' D0 h8 |. `# ?! c
8
( ]0 u4 M+ K) S图 1
8 t! p  l, l* ?& m$ Y/ D4.5 问题四的分析
$ c. w; f: E, j. m. w+ e4 m我们分析了 DVD 租赁的实际情况,发现以下问题:, j5 j6 W; ?9 ]! G- Q2 o  f& f
4.5.1 已知连续前N 个月的DVD 需求情况,如何预测出第N+1 个月的DVD 需求
* l2 E9 @) c% ?) ~4 r+ B# ?/ X情况?
0 Z+ [4 R9 h3 b' u+ h1 H假设前 5 个月的DVD 总数的需求情况为x1,x2,x3,x4,x5
. Q  ]3 O* _8 W: P对与上述问题,我们建立灰色GM(1,1)模型求解[3]。
  ]0 l4 C. }: _( S, L以第一个月为起始点,即在该点t=1,于是有原始数据序列:/ n' f3 I; [) u# A* ^
X(0)={ X(0)(t) t=1,2, &#8943;5}6 j3 A: h% @) H& o! ~1 w5 p
={ X(0)(1), X(0)(2), &#8943; X(0)(5)}
2 W3 x& ~# |& N! C( ]- w: z( d={x1,x2,x3,x4,x5}
8 Z3 }! f& K$ l# b+ h首先按 GM(1,1)建模方法,对已知原始数据序列X(0)进行一阶累加生成
6 R7 W9 w7 {) ^(即1—AG0):
# S5 `7 w. ^( _3 x6 ~&aring;=* f0 V1 c2 w8 {+ h+ b5 i
=
) L/ Q8 P6 b. wt( V0 G' p" {! A( c
m7 M  }  n: o, N8 v
X t X m" a6 t0 R3 E; }! d1 C
1
, ?3 B1 t  ~# ]* ^$ M(1) ( ) (0 ) ( )  G. r1 E, y, p% g0 M
。得到生成数列X(1),如下:
7 a/ M: P7 K- uX(0) ={ X(1)(t) t=1,2, &#8943;5}
. L' H( _* C7 R; c, I% u={ X(1)(1), X(1)(2), &#8943; X(0)(5)}
1 n5 |8 h( t3 ?( U( j) T={ x1, x1+ x2,x1+ x2+ x3,x1+ x2+ x3+ x4,x1+ x2+ x3+ x4+x5}9 |9 n6 b0 {9 {" m" {
构造数据矩阵 B 及数据向量YN
6 [7 X0 N! L3 d1 nú ú ú ú ú
) y& i0 I  W* K2 q( v, r) T. U# Y# b&ucirc;6 p5 J/ j$ v4 B! k! `3 o2 T* ]
ù
) |: G2 S8 I' h" Nê ê ê ê ê
! L' O, a' \2 W&euml;
( t2 J. I; v* k# `, T6 }0 }- wé
: B; F) s) b2 U5 f: h. V- - +" Z! m% H) H  z
- +
; p6 C  ?( v8 k  D+ f: o9 h- +
# y' |5 }) M" L, P  D$ ~; [=4 \7 o8 L! e, v% x
1/ 2( ( 1) ( )) 1
( T- h% q9 D$ @! {8 G- B5 W4 w1/ 2( (2) (3)) 1
2 Q0 Z& V' A4 v0 Y0 O1/ 2( (1) (2)) 18 d4 r7 Z1 h$ B4 Z9 \# b, ~; ~
(1) (1)
* M1 j, S( f7 j& p(1) (1)0 {* u: x+ ]/ ~# i9 K/ Q$ H; G
(1) (1); {- x/ m2 H( ^5 q
X n X n
0 X& `5 i2 R6 @  p8 w$ Q* }; T  qX X3 G! y/ \, d1 q: \; M
X X
! W8 y0 N' I. kB1 p( c: M! m5 J' I6 o1 \9 I
M M' f0 H' `5 Q$ u1 g& ~) Z
YN=[ X(0)(2), X(0)(3), &#8943; X(0)( n)]T3 Y1 h% _, s: r0 R
求模型参数a :" @; b/ N' i2 H2 m
N
! B% j( ]2 @& o  U2 Z; V& x" M# ma) = (a,b)T = (BT B) -1BTY: I2 W4 b; v% B
建立模型:根据参数a 建立模型。模型的时间响应方程为:* R5 D7 g: y0 q; \8 [( U0 w
a4 P- A. w& E8 r, J" e; i
b! H- b% i9 _! |! ^! e2 l
e
/ P+ j$ D3 I5 J4 N1 ya
$ R3 G# d' i: T8 c3 e0 x2 nb% W! h2 \. y8 u% s. t6 o/ h( \
X (1) (t +1) = (X (0) (1) - ) -at + )
7 s. L* Z. s1 F模型的改进:
- s# k! a. x4 `$ u5 c" s3 F为了提高模型精度,又对参数进行估计,以进一步改进模型。将以上时间响应方程% o& I* A4 V! o' l
写成:: @+ S, \& l% w
X (1) (t +1) = Ae at + B, e, i! A- _( y# S
根据第一次估计的a 值及原始1—AGO 数列X(0)( k)对A 和B 进行估计。构造数据
. D9 P- o3 F( f$ y# u矩阵G 及数据向量X(1):- T; c% S' y% ?, H$ E  b
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
# u$ X6 R7 o5 c+ Z: e9# }" P( X6 T7 o, c" i7 \
ú ú ú ú ú
; r! U* k5 n7 K0 x) o&ucirc;! |; o6 c- k, a! k7 W2 o  w
ù
7 z, y7 D; }6 J* p: O" Rê ê ê ê ê: v& P1 C& u7 [
&euml;
7 ^4 Y% G; {  q' p* Té& \9 k/ r+ S$ h9 F! J
=
8 o5 {; ]9 ]- \5 W6 T. d6 ?- -
9 H3 E+ A$ }: M! C-
$ `8 ^3 N9 V! s7 Y4 N15 G8 J. [# V; i; y- A& X: N) d
1
; d3 W& }7 z8 Z5 Y+ P. g' P1
% J! u- u" |% O2 v7 q( 1)& S' e4 }% P* p2 Y" A7 |
06 J, l* m4 a! U. H
e n# t8 L$ G$ D8 l/ w* u
e
& P: n9 Z, t/ \e
5 X0 Y8 \" F; V" b  BG$ K% _) W# ~$ `9 n
a
6 z- O" i. R3 R+ T- @% Xa) e8 E5 Q& m# F# \9 T8 Z
M M
# Y, {& e" c# NY(1)=[ X(1)(1), X(1)(2), &#8943; X(1)( n)]T
+ R. q- v+ A$ R9 @& B: y求出参数 A 和B: m. C0 w( Z0 q) j
(G G) 1G X (1)6 e' O9 D- A6 e+ H) u/ [
B$ D+ P7 H2 s2 y5 F' p( i  q$ c
A = T - T ÷ ÷
" B4 q1 F  Q* b2 y) W&oslash;
, v# @! z. f; o% V' u: b&ouml;; C; h: X1 q; Z. E$ b& `; e/ K
&ccedil; &ccedil;è! G  O' \2 H# Q6 I: m
&aelig;
/ {7 s* u- t1 ~, y4 u  u# k求出时间相应方程: X (1) (t +1) = Ae at + B; ~' b7 w5 u- d. C+ s) L
则需求总量的预测模型为: X (0) (t 1) X (1) (t 1) X (1) (t) ) ) ) + = + -
6 P" D2 p3 ~0 C$ y* e  m: @# s4.5.2 网站月盈利与网站DVD 购买,会员会费的关系2 y) X, T+ a2 k; A, F
网站盈利与网站会员数、会费、会员的满意度和DVD 总量存在一定联系,如何购* U5 d/ `+ i+ L& P5 \! A4 P
买DVD,如何确定会费使得网站盈利最大8 m6 |( Y& W# N: u3 @9 W
假设网站会员人数 W 与网站会费e,会员对网站的满意程度m 有关,设:  N) c9 ^) i' R" Z' n
W = f (e,m);8 l7 E' @: Y, o4 k
假设会员对网站的满意程度 m 与网站拥有DVD 总数量s,网站拥有DVD 种数n1 R: w% ]- y; J  \! z% v/ i
有关,设:
1 H- j9 X& |5 v1 |m = g(s, n)
. }# Q' r& ?+ u0 J8 A+ M假设拥有第 i 种DVD 的数量为ai,第i 中DVD 购买价格为bi" T! d, O  {, g0 I5 R! M8 S
假设网站的每月的盈利 F 只于购买DVD 的费用与会员的会费有关" f. B% ~. u3 W5 \4 G
根据以上假设建立如下规划模型:
5 V& g$ Z- U2 T% E" }4 y&iuml; &iuml; &iuml;
6 M1 A. I$ A# t% G. l1 l&icirc;
, m: [2 L* ?# t9 S9 D/ h' _&iuml; &iuml; &iuml;
+ [. b6 a8 O( [8 m, Aí5 [9 [$ M( G: Y1 r" w
ì3 E6 N& {' J0 h3 G7 B5 M% t
=
% q- c# L- }$ g1 v0 [( D: n& ?=& U1 `; S$ `% @5 O5 C9 u( f5 P
=7 j. m$ p1 e0 [
= &acute; - &acute;
/ A% z6 X8 D; n! f8 O&aring;8 p( X8 |0 O0 y: T0 e
&aring;: L; K$ t7 p3 S7 l1 S( t1 Q+ J
=* G% |% A0 p9 g& y+ r
=
. w) f4 r/ A, m1 b' R; ?7 O  @n3 _: f: A) y4 r7 }. d# x2 o
i
+ i* F/ X9 y4 a; X, F. e6 T% k0 Qi* ^0 i& w* J) C
n$ m% t% ]; ~4 h, Y- [
i- t/ O+ p9 a+ l5 F9 L
i i
9 G" S' Z& I: c: Zs a
% Y9 M0 M5 i% f$ Ym g s n
9 \1 @, x% g7 p/ v) dW f e m
) c" w1 r: r7 k2 _" @! w  Ls t
7 z& H/ a1 [* ?9 G; q, C+ v4 B0 zF W e a b7 _% f5 n, Y. q* Z; E4 N2 Y2 E
1% J# k" D" g- T' _4 q* S6 G
10 q" J5 d+ k% a" b7 Z7 H
( , )3 p* q1 T" |* O
( , ), `/ K$ ~/ V8 y& r
. .! s8 T+ n6 l* N3 t- R. H6 E
max
& l6 K) _0 w' n2 g9 H1 D" L9 e六、模型的评价及推广) Y8 r/ W6 o' v8 O
在问题一中,我们的根据实际的情况,突破传统以会员为参考切题巧妙地转为以经+ M+ P: D( u" R' g3 S6 X" s. P
营者的身份用周转情况来考虑问题本身,使解题思路突现,运算简单,而且模型非常明9 J6 U, _6 a: l! l0 G
了,十分容易理解。问题二中,我们证明了在题设条件下每位会员不可能都租到自己想看
. z) ]. L  t6 a3 U3 M1 ?的3 张DVD,至少有8 张DVD 租给了不愿意租到该DVD 的会员,同时用 0-1 规划模( O7 R% f3 U8 M. v
型求得了在只有有8 张DVD 租给了不愿意租到该DVD 的会员情况下最优的分配方案。# ^. g# S. ]4 z2 `  }7 S
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
' A9 ?- {8 G; _10, `3 Q9 ?( g! q; {3 P- B
此模型中有10 万个0-1 变量,规模已经相当大,但是运算只有20 多秒,在10 万个变
9 |' O3 P$ _9 |: |/ a量以内规模的问题都可以求解。对于更大规模问题,模型的求解就会困难。因此我们想! L/ y* m! {. T) W2 g% O: H5 O8 g
了另外的一个算法:贪心算法[4]。贪心算法是在让计算机按照当前的要求逐一进行分配。
6 E0 x4 h5 d, \9 C在满足一定约束条件下,每次搜索偏爱度最小,然后按此进行分配的原则,得出较优解。0 R. ?0 C& \$ c6 x; B
对于问题三,我们建立了一个规划模型,满足题目要求并且容易理解,但模型求解较为- @. B" P; a; W; q8 ~2 ?$ c" y/ |  N
困难,然后用计算机仿真的方法模拟一个月内会员租DVD情况,得到网站应该购买DVD$ x! F" |+ ^2 V* i) p( ]  k) V
的数量。次方法比较贴近现实,但是每次模拟的结果都会有一定的差别,而且所得到的
0 Q9 |! T7 ^/ Z结果难以求得最优解。
' U2 }! t0 H$ Q1 {6 l本文建立的模型,不仅能够解决本文的问题。在超市物品的需求预测,货物的购买
7 K- h$ d1 Y  F' W' u5 ?4 u$ |和各个连锁网点的货物分配,都能运用本文的模型进行解决,本文的模型,能很好符合
7 x' `8 _" ?  D0 |# P+ l6 D实际情况,但在精确性上还有待改进。
1 g2 m- c1 X" ]; c' Y+ C[参考文献]:: `" A! `6 o! c* m" U
[1] 张平 等,MATLAB 基础与应用,北京:北京航空航天大学出版社,2001 年
0 o6 `1 A+ b0 D[2] 苏金明,张莲花等,MATLAB 工具箱应用,北京:电子工业出版社,2004 年9 Z: [  L4 h. @8 k1 }% \: r! _. Y* c
[3] 蔡家明,灰色系统模型在汽车市场需求预测中的应用,上海工程技术大学学报,0 E; H" `, N! ~+ p0 `9 ^) H
第17卷第1期:72至74页,2003年3月
& d+ A7 A5 ?0 P. s+ H# Y! L[4] 余祥宣,崔国华等,计算机算法基础,湖北:华中科技大学出版社,2004年& M% l, b; M2 p, K3 r: ?
[5] http://www.netflix.com,2005 年9 月17 日  u$ v0 k& B) ?3 U/ i2 y
[附录]:( a" a7 o+ l9 w, H) Y
1、问题二程序:. S4 \! v3 }+ u! ?& x& ?6 H
运行软件:Lingo 8.0
, g% }" n' V8 S6 I/ {2 e7 v3 R  i运行环境:windows2000
) p! c1 h" e6 w9 g' E运行时间:24 秒4 s) |8 s9 }; o: Z: A
model:
4 s' r2 [" h2 _' f6 w4 o  Gsets:3 M% t- e0 g$ V/ w% s5 h
cd/1..100/:dvd;
5 U! w8 X: y. y+ ~# h. Q) Tren/1..1000/:people;
: g! v6 Q3 y( r' ~  Qlink(ren,cd):c,b;
7 x. N1 L# j+ T/ W  {2 lendsets! `) }) h! p# C1 F
[email=min=@sum(link:c*b]min=@sum(link:c*b[/email]);
0 I2 }9 L$ L0 y0 C* t- }0 t  `. t: V!dvd总数的约束;7 K. {! g/ n$ Q, f9 y$ A" c
@for(cd(J)sum(ren(I):b(I,J))<dvd(J));6 ^5 k. ]! \$ c
!需求约束;6 Y3 Y. E  X" ?
@for(ren(I)sum(cd(J):b(I,J))=3);! s! s7 X# }# p+ y& L
@for(linkbin(b));
! h) ~) O4 d2 ^data:* b1 b3 Q: K) q( L
c= ;!输入偏爱度;2 U5 p1 `9 u  M6 V4 C
dvd= ;!输入现有的每张DVD张数;
+ w# d; ^7 F8 U+ l! Venddate9 u4 g- {7 M2 U% g- r" L
end& v0 S. H6 x* ~4 R! B% E& ~
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
7 ^2 U( ?& X' N; P" j0 n11
. E# @0 H$ y5 Q( x6 j# k  i运行软件:Matlab 6.5& \! o$ m! _% l/ u1 W& W1 L' K5 G
运行环境:windows2000' `# r0 h" i5 G/ Z
ding=[ ];%输入订单表
" Z1 H0 |" T& d' pb=[ ];%输入由lingo 解得的最优解: R) e5 k. V, o  F- o; T
k=1;
8 {# c. T6 k, ]& K& dfor i=1:1000% x 为分配DVD 方案表% E. }% W1 l! N
for j=1:100
, r% [5 C/ L7 Q0 C: t1 k) x6 I$ S, K) kxx(i,j)=b(k);
, g3 U" @9 x+ c% x! B7 Xk=k+1;
: D( \% v, Q; i: U$ p) jend
& l" X5 c8 J/ j+ ~- C2 dend
0 X& H4 Z" @. A& B9 ~for i=1:1000 %满意度
$ z( W1 p$ |) ~" U, [6 r! q# Sfor j=1:100
0 m9 W! D0 `, K* Cif ding(i,j)>0 %ding 表示订单表
, |6 K4 B5 R+ h$ h! x# `! l. eman(i,j)=11-ding(i,j);( Q& d8 H9 d/ Y  X
end/ V2 @% o& ^8 V/ v: h$ p% t. F
end
- I* q$ Y( m' x8 |9 a# z* \3 Oend
9 E4 V& q! n" e/ Ott=xx.*man;$ ?9 e+ q0 S6 ?6 o; |; U
ts1=sum(tt() %ts1 满意度的最大值) N& O- e2 w% j- O' V
tt=xx.*ding;* w% K+ G4 v1 m3 V/ z2 \0 |
tt2=sum(tt() %tt2 订数字和最小
% m5 y3 F4 P, R* Z& A. D  Pfor i=1:1000
4 T4 \' ~, |) l+ m9 t( V! L. Bk=1;! r4 n3 X8 |# S
for j=1:100
% s1 R3 v% E- @- p' L; wif xx(i,j)==1; _/ e; g; h  U' D/ B
d(i,k)=j;%d 表示发放表
! t, e% J2 h4 l. U5 [" `5 R8 Ak=k+1;
3 w  g  L% a1 j+ }$ f8 L) Wend
; m  K& `& Q5 r, ^, C! nend7 n& g9 Y( w3 t* z2 a; U+ L
end, K( L& a4 X' p2 D0 l
for i=1:10009 r% X: `* y* ~) M! B- G
for j=1:3
1 ]3 ~: ?! ]7 w' E6 j* \# h8 J0 Oddd(i,j)=ding(i,d(i,j));%ddd 与发放表对应的订单数字
( N4 F( q9 A5 c4 }end
8 F4 t3 q0 h' X- e# m* Aend
6 O" e3 w2 K5 \, Q8 o0 G, x' ik=0;%租给了会员不愿意租到碟的个数: [+ @; h6 \' j. y; j- s
for i=1:10002 y  v% k, C. z5 o/ c: T
for j=1:100
! K3 R/ G* k) w+ h9 Qif (xx(i,j)==1&ding(i,j)==0)
; h& O$ k+ u+ G; Q5 W5 Gk=k+1;
, t% J' ^) f2 \* `6 ~2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文# y8 L. w2 R  U, S0 Z
12
0 p5 M2 Q" S8 G; Vend
. Y/ ^/ e% w' p5 yend
& M/ @) l8 o. M* z& V2 f( fend+ B# [/ P+ s. @5 g+ ]- C$ ]4 [
k
. ~" N% x6 A0 c2、问题三程序) q1 Q1 c, W" ~- t; I
运行软件:Matlab 6.5# J! u5 O4 M" `* ]* h& Q2 E
运行环境:windows2000
9 h# b7 J" G' f, _c0=[ ]; %输入在线订单表
/ M" F+ t; t+ _) b, e! I& t- [n=1000;c1=zeros(n,7); %%记录j 号会员的信息,c1(j,1)-c1(j,3)表示会员借的三张碟的号码,
$ c  X% Q: w7 `, d. w/ I+ Bolddvd=ones(1,100)*n; %c1(j,4)表示借的时间,c1(j,5) 表示还的时间 c1(j,6) 表示会员的类别,* v# S& S+ v0 d) A
c1(j,7)表示借次数
4 D3 q2 ~; q1 k( t3 d# qc1(:,6)=unidrnd(10,1000,1) ; % 人数分类 60%会员只能租二次 40%会员只能租一次小于 6 为第一类8 _4 K' p" ]% W; D

' Z  }- M0 p% d1 r. {4 b" ~a=10;b=20;9 D0 F$ l# e" e7 f1 B% B
yt=olddvd;2 P) J/ A3 W' I0 @
for(i=1:30)%对每一天的情况进行模拟
$ b3 t: y& B+ m; f) n$ Q* xfor(j=1:n)
, T. a$ S( O5 j# x+ u3 C, v/ gif(c1(j,4)&c1(j,5)==i)%还碟  d1 d. o3 R. z, u
if(c1(j,1))olddvd(c1(j,1))=olddvd(c1(j,1))+1;end
3 A1 }) d/ U0 H& fif(c1(j,2))olddvd(c1(j,2))=olddvd(c1(j,2))+1;end. |3 Y* T* i( e: E* r
if(c1(j,3))olddvd(c1(j,3))=olddvd(c1(j,3))+1;end
( T- H# z/ n- h2 tc1(j,4)=0;
% j9 z2 T7 F# j7 g5 u% }+ S0 k' Oend: U" K" Z3 K8 C) |- w
if(c1(j,4))continue;end %以下可以租
. v9 Z; M. f, a9 T4 U5 {9 _if(c1(j,6)<=6&c1(j,7)>=2)continue;end % 60%的会员租了两次不能再阻
2 ^+ g, O% d- i5 H7 z3 M& n5 x3 }8 Z3 wif(c1(j,6)>6&c1(j,7)>=1)continue;end % 40%的会员租了一次不再租& o& m0 _% k3 h& i0 _* E
if(unidrnd(100)>95) continue;end %保证0.95 的概率能选到
5 D6 U6 \* W4 e- N, M9 T8 [c2=c0(j,;%以下开始租
* H9 t4 ~. U- z  ets=0;
  L4 ^4 T. d! ?2 D4 O3 x0 ~5 l# t3 n%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
9 [6 R1 {- L! D9 x! D5 d生成三个随机数
/ q* I: G7 j# s: ]9 S7 `* bct=0;
  ?0 v: b4 O' G' O2 W, Bfor s=1:100
$ U+ X1 C) D$ w3 z1 Q( iif(c2(s)) ct=ct+1;ts(ct)=c2(s);end* N+ B; {6 Y) R/ o5 V$ L
end, [( ~. A: j- o6 [) u6 |
tt=length(ts);% r5 g& \, b3 O
%tt=max(c2); %第m 行的人预选个数: X& F/ E- A( A9 O+ z1 w
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文
$ Q' H8 e; ~$ c& z, z* k13
  E- ~4 o2 B& d8 v- H%ts=1:tt;/ }8 R* g, z9 N: a+ |
ts=11-ts;
; D  z( _" y* _: d%生成三个不同的随机数,按照概率
: F+ Y9 q7 D/ ~9 v& }tm=sum(ts(1:tt));" _6 k" _0 `; O; D- ^
t1=unidrnd(tm);%生成第一个随机数9 ?' {4 J* f. W" d  p
t0=0; ss=1;
7 \. g4 v1 P2 M$ S" v! g' {while t0<t1
9 z! D$ Y" [& S5 I6 [* tt0=t0+ts(ss);  ~, r  z/ _1 f. w8 A' q- x
ss=ss+1;
! L9 D1 q- s% v, M5 S3 ~/ oend& ^+ r. C5 e" d; J, k
ss=ss-1;' e; Z/ }- a9 d# `6 V
sj(1)=ts(ss);
. o) u. l2 M) p  ^- i3 I4 ]%生成第二个随机数
- {) d3 i2 I+ c8 M9 W6 b3 [for r=ss+1:tt%删除8 d/ X1 P8 \5 ?
ts(r-1)=ts(r);
" U' }6 j# W# ?0 t8 eend
" y: I# P* y- e0 A$ ^tt=tt-1;
1 F; p" N% [+ g/ Z; |4 D* utm=sum(ts(1:tt));
& P% V7 H# ]+ l- c( m- j& R9 At1=unidrnd(tm);
6 q2 `0 H( f+ I% d+ ]: S; tt0=0; ss=1;/ f1 w9 i4 A' N
while t0<t1
& G, M# ]* t" p9 h4 ^* c! dt0=t0+ts(ss);7 M% F! K; V# q
ss=ss+1;/ B& M3 c* r9 V: ]
end
9 N0 D+ t- K1 I% ~* Rss=ss-1;% ?) r5 O9 p+ V: e' o
sj(2)=ts(ss);) p/ W$ n7 G) U& p
for r=ss+1:tt%删除. x- _; I2 H9 Z' t$ i. ~. u
ts(r-1)=ts(r);# h8 @$ G1 z1 z
end* y+ Y$ V- R; e7 U
tt=tt-1;
" ], I9 F, [1 _! g" mtm=sum(ts(1:tt));5 `8 W' @9 A1 L+ C7 h- s
t1=unidrnd(tm);%生成第二个随机数% |3 C& g' O; L8 B; Q
t0=0; ss=1;
  |# \+ m! v/ _6 Mwhile t0<t1
" R: [2 x  X  ^$ f& pt0=t0+ts(ss);
4 x6 D: m3 d: \/ x5 ass=ss+1;2 ^6 c9 [8 |! o( L. _' I6 j% Q
end
; W0 I0 D+ q7 Y) Iss=ss-1;; A8 N4 N2 k5 B; V0 A' M
sj(3)=ts(ss);5 ?0 A8 e, q+ s% p+ b5 t0 |8 {; g+ z
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
* {8 _/ n' X- c0 l! x0 r/ f6 }for s=1:3
  E: s" \0 t9 V3 ]j1(s)=find(c2==11-sj(s));
" A6 N/ l( B. u# a' n; ic1(j,s)=j1(s);$ [, g+ d1 I1 @2 g
2005 年全国大学生数学建模国家二等奖获奖论文2 T+ u# a. C3 t, _+ q3 f
14
! n& q$ W# d0 Xolddvd(c1(j,s))=olddvd(c1(j,s))-1;
5 H( {$ G! V$ T- ec0(j,j1(s))=0;0 m- R# R9 U$ H6 J; I
end
9 |& S( _& m" \7 _c1(j,4)=i;- z2 k- _( i( L
c1(j,5)=i+round(unifrnd(a,b));3 h! M+ C9 `0 T. a3 W% i
c1(j,7)=c1(j,7)+1;. I( f4 d9 [6 G& y) @3 Q  p
end
# h* u5 G7 \) R& I5 P+ gmindvd(i,:)=olddvd;; ^2 q' U4 A' Q$ `
end
0 ]  v6 R7 w. r, fmindvd1=1000-min(mindvd);8 _- X% V; e) h: P' a, n( \4 J( U
sum(mindvd1)
发表于 2009-9-7 22:48:19 | 显示全部楼层
发表于 2009-9-13 08:22:30 | 显示全部楼层
还可以 不错
发表于 2010-8-19 20:37:11 | 显示全部楼层
表情符...............
发表于 2010-8-20 23:07:17 | 显示全部楼层
! i1 V7 b& L' ]% d+ m: C2 W
先顶个
发表于 2010-11-1 16:52:33 | 显示全部楼层
那些软件是不是很难学啊?
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