,不仅为了美化校园环境,也是想为其学生提供更的生活条件。公园计划有若干个入口,现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连(可以利用公园四周的边,即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路,此道路不计入道路总长),使总的道路长度和最小,前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。+ K& ?$ |& v; _! ]6 [5 J& x
主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园,其相关数据为:长200米,宽100米,1至8各入口的坐标分别为:
* o }; D$ [* \' N P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),4 y9 y8 j3 D' _$ ?# Q
P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25).) a s; M% N* b# F: ~
示意图见图1,其中图2即是一种满足要求的设计,但不是最优的。5 w- H/ }9 t) J! H+ B# \$ |
现完成以下问题:
. b1 n7 x8 ^! O/ m! z7 V问题一:假定公园内确定要使用4个道路交叉点为:A(50,75),B(40,40),C(120,40),D(115,70)。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计,计算新修路的总路程。8 J1 w6 g, s! s* z3 S0 I
问题二:现在公园内可以任意修建道路,如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标,画出道路设计,计算新修路的总路程。
1 E- F- W! P, a, L* m& ~& F问题三:若公园内有一条矩形的湖,新修的道路不能通过,但可以到达湖四周的边,示意图见图3。重复完成问题二 的任务。 {5 v* C" |& t3 e9 C2 F" {
其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。
7 R4 V, m- I$ f: K9 q$ k注:以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通,而不能连到四周的其它点。
+ P A+ w7 B- J6 {( O6 s' z" z, t5 Z8 o. o2 U( M3 O. ]' n! s3 |
图 1 公园及入口示意图
1 d0 B: ?6 S7 O: o) E' l5 b, P; D) g# {" f) l/ `6 o
图 2 一种可能的道路设计图
$ z& R5 v. c1 G v) |( v: b8 ~/ c4 h " ^( Q- V3 k& K) r! i% l0 U2 a9 Z
7 }* |$ e* w/ z, X- a0 c4 r. H 图3 有湖的示意图 |