,不仅为了美化校园环境,也是想为其学生提供更的生活条件。公园计划有若干个入口,现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连(可以利用公园四周的边,即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路,此道路不计入道路总长),使总的道路长度和最小,前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。
0 z! A; M7 e$ g% [5 D 主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园,其相关数据为:长200米,宽100米,1至8各入口的坐标分别为:
- d1 T7 v' ^4 D0 s& T8 b( R# G P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),
$ a$ Q+ W! u. R w8 U3 x y P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25).
7 J: {! W- G& i% @示意图见图1,其中图2即是一种满足要求的设计,但不是最优的。
# s$ I7 p# p: j& | I现完成以下问题:
4 i$ W. B+ Y8 m( r问题一:假定公园内确定要使用4个道路交叉点为:A(50,75),B(40,40),C(120,40),D(115,70)。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计,计算新修路的总路程。
4 _9 g) {' @' M0 ?- c1 n问题二:现在公园内可以任意修建道路,如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标,画出道路设计,计算新修路的总路程。3 }1 g7 Z& `( n9 n8 a& N5 N! p+ h
问题三:若公园内有一条矩形的湖,新修的道路不能通过,但可以到达湖四周的边,示意图见图3。重复完成问题二 的任务。& y7 W0 r0 X3 {: n0 [" B2 j d
其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。/ l3 _# f1 j# }% ]. q6 k
注:以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通,而不能连到四周的其它点。
" J1 `# j r ?: k+ m C' ], K/ b9 M2 Y x2 t. T
图 1 公园及入口示意图
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0 k, \6 i o& e' @ 图 2 一种可能的道路设计图 l$ U/ ^; V7 M/ u2 {2 }. E2 a
C- N' M3 i' p0 j ' X/ |. Z- C1 _$ R
图3 有湖的示意图 |