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感谢网友们的鼓励附录一节〈表达的奥秘〉
§7.9 数学语言的特点
数学语言可以看作关系语言的典范，那么数学语言在表达上有什么特点呢？
数学语言的第一大特点是“数值计算”。我们是从四则运算开始，到解代数方程，或者求微分与积分，都体现为一种数值计算，对一个实际问题求解。这不太像一种语言，而是一种算术，即对数进行运算。如果要使“算术”成为一种具有普遍意义的表达语言，就必须推广算术谓词的意义，这在§1.5“乘”的语义分析中给出了大致说明。人们对算术谓词的表现力表示怀疑是很正常的，难道“数值计算”还蕴涵着更丰富的语义？这一点是需要建立同构映射才能得到明确的。在数学史上有两个最重要的方法极大扩展了“数值计算”的语义表现力：一个是我们熟悉的笛卡尔坐标，它能够把所有的几何证明问题转换为代数计算问题; 另一个是天才的哥德尔编码，它能将所有形式语言系统的符号变换（当然也包括了所有的推理证明），都变换为自然数论中的计算问题，从而将推理证明和数值计算相沟通。从这里我们可以看出，“计算”并不只是一种“术”，它也是一种很有表现力的语言，只是一般人不太会运用这种表达模式。另外，与自然语言和逻辑语言相比，数学语言能更细腻更方便的表达差别，特别是可以从量的角度来充分区别质的不同。就像前面的分析，在组合关系同构的情况下，如果要作进一步的区分，就只能引入“量值”的形式因素，这是表准的重要手段。算术的出发点是自然数，高等数学的出发点是实数域或复数域。总之，数学以数域为表达基础，在此基础上可以刻画各种函数关系，此时的“数值计算”已不是目的，而是成为刻画和显示函数关系的手段。
数学语言的第二大特点就是“证明推理”，这首先来自欧几里得平面几何。几何证明的最大特点就是不计算。从小学算术到高等数学，我们的一个直观感受是：数值计算越来越少了，而所谓的恒等变换越来越多了。其实，推理证明只是符号变换的一个特例，所以利用语形变换法则来刻画语义，正是数学语言表达的另一特点。像我们最熟悉的“乘”，它的形式语义就是“交换律”和“分配律”：ab=ba， a(b+c)=ab+ac。对于A、B两个事物“彼此独立”的语义，在概率语言中，是通过语形P(A)P(B)=P(A)P(A½B)来刻画；在向量语言中，是通过A、B向量“内积”为零来体现：<A, B>=(a1b1+a2b2)=0。数学的运算法则从根本上也可以归结为语形符号的变换规则，比如对于两个复数加法和乘法的定义，它具有人为规定性、理想性和逻辑必然性。它相当于形式语言中合式规则和变形规则，也就是字符串的产生规则。那么，为什么数学语言能对客观世界进行刻画呢？这是个令人费解的问题。历史上曾有一个信念：全能的上帝是按数学原理来创造世界的，因为上帝本人就是最伟大的数学家，因此现实世界刚好符合一种理想的数学语言也就不足为奇了。理想性和客观性、逻辑必然性和经验有效性在这里求得了统一。正是在这种信念的支持下，开普勒才能够在浩繁的数据中建立起行星的运动周期律。但是，我们今天知道，数学语言之所以具有实用意义，是因为在语形的搭配规则中抽象刻画了实际对象之间的关系，所以也就刻画了对象。客观世界在关系语言中成了一个具体的释义模型。（参见§12.5部分）比如复数的加法法则就刻画了力的合成法则，它符合平行四边形的对角线法则。
根据著名数学家吴文俊的研究成果，中国古代的数学传统偏重“算法”，西方的数学传统偏重“证明”，这是两种不同风格的数学语言。但是从上面的讨论看，它们之间在很大程度上是可以相互表达的，都是具有普遍表达能力的数学语言。
数学语言的第三大特点就是可以突破时空经验，以关系不变量作为表达的基础。日常的自然语言，是物理语言和心理语言的混合物，如果要表达非时空中的存在就会遇到不可克服的困难。因为自然语言只能表达时空中“有定”的对象，它以“自在的对象”和“因果关系”这两个最重要的概念为框架，因此对非时空的“不定”对象是无能为力的。然而，数学语言可以超越三维空间和一维因果关系的时间图像，比如相对论就是一种“超几何”的高维度表达，时间
与空间共同构成了四维世界，使得自然语言中的“物体”和“前后”的概念在这个世界都失效了。还有量子力学所描述的微观世界，几率波所提供的概率图像，对于那种“生生不息”的无形流变，对于全息相关的“场”，对于关系的关系描述，这些都难以用“有定”的自然语言来表达，却可以用数学语言来完成刻画。
当年二十六岁的麦克斯韦以偏微分方程为工具，建立了电磁场理论的数学描述，就在同时他接到了六十六岁的法拉第的一封信。这位以揭示电磁奥秘而屡建奇功的卓越的物理学家在信中写到：
有一件事，我愿向你请教：当一位研究物理作用及其结果的数学家获得了他的结论时，是不是可以用普通语言尽可能像数学公式那样完全、清楚和明确地把它们表达出来呢？如果可以的话，那对于像我这样的人表述起来，不是会有巨大裨益吗？¾那就可以把它们从难解的符号中翻译出来，
为什么非用数学语言？能不能不用数学语言？这不仅是法拉第的问题，也是包括本书写作在内的表达问题，这是一个普遍的问题。的确，在“有定”对象的情况下，自然语言也可以表达问题，数学语言只不过显得更严密更简洁而已。所谓“有定”，就是词的意义离不开原子直观，要么是可直观的自在个体，要么是可直观的共相谓词。然而，在对“不定”的表达场合，数学语言就有其无法替代性。所以，数学语言并不只是锦上添花，它更是雪中送炭。如果认为将自然语言的词改写成数学符号，这就是所谓数学语言的形式化表达，这只是一种误解。从“有定”到“不定”，这才是形式化表达的根本。即便这时我们采用自然语言来进行相应的关系描述，这时的“词”也只能理解成一个形式变量，具有“不定”的意义。它这时候实际起的作用就是形式符号的作用。就像希尔伯特在几何公理中虽然还是采用传统的“点”、“线”、“面”来表述，但此时的“点”、“线”、“面”的直观性都会自动丧失，它们会自动“变质”为符号化的数学语言，关于这一点，在前面的公理系统和量词技术都给出了充分的证明。
说一个词表达了“不定”的对象，这种说法被弗雷格批评为一种充满矛盾的含混表达。没有“不定”的对象，因为抽象对象或者形式对象就是概念，就像“点”、“线”、“面”这些形式对象都是概念，是用谓词来表达的。所以，数学语言适合对关系的关系做出描述和表达，关系化是形式化的本质，也就是数学语言或逻辑语言的本质。
这里顺便提一下，因为自然语言离不开直观，所以一般来说很难做出“超时空”的表达效果。但是，古代诗人所追求的“空灵”境界，也可以视为企图用自然语言创造出时空一体化的图像：
意境一定是空间（“人闲桂花落，夜静春山空，月出惊飞鸟，时鸣春涧中”）和空间中的事物，但不是感性事物的堆积，而是有空间统一体。这不是感性材料的排比所能得到的，而是借助于一个运动形式使空间整一和激活，这就是那个被月光惊动而鸣叫的山鸟的作用。进一步的例子（“空山不见人，但闻人语响，返景入深林，复照青苔上”，“独坐幽篁里，弹琴复长啸，深林人不知，明月来相照”）显示出，作为背景的空间以空和无穷为特征，它的统一性形成于那个运动的形式（鸟鸣、明月）。
我们知道，爱因斯坦相对论的时空一体化正是通过运动实现的。所以，上述关于“空灵”境界的分析并非无稽之谈，而是抓住了问题最微妙之处。超时空的体验也是佛学和禅宗所努力达到的境界，它们都感到了日常语言的局限性，很难言说出这种体验。然而，“空灵感”则可视为诗人用自然语言创造出的一个表达奇迹。